Xấp xỉ

Cách tốt nhất để ước tính cho hai số nguyên đã cho m , n khi bạn biết trung bình μ , phương sai σ 2 , độ lệch γ 1 và độ nhiễu quá mức γ 2 của phân bố rời rạc X , và đó là rõ ràng từ các số đo (khác không) của hình dạng γ 1 và γ 2 rằng một xấp xỉ bình thường là không phù hợp?$Pr[n \leq X \leq m]$$m,n$$\mu$$\sigma^2$$\gamma_1$$\gamma_2$$X$$\gamma_1$$\gamma_2$

Thông thường, tôi sẽ sử dụng một xấp xỉ bình thường với hiệu chỉnh số nguyên ...

$Pr[(n - \text{½})\leq X \leq (m + \text{½})] = Pr[\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}] = \Phi(\frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma})$

... Nếu độ lệch và độ nhiễu quá mức là (gần hơn) 0, nhưng đó không phải là trường hợp ở đây.

Tôi phải thực hiện nhiều ước tính cho phân phối rời rạc khác nhau với các giá trị khác nhau của và γ 2 . Vì vậy, tôi quan tâm đến việc tìm hiểu xem có một quy trình được thiết lập sử dụng γ 1 và γ 2 để chọn một xấp xỉ tốt hơn so với xấp xỉ bình thường.$\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1$$\gamma_2$

Đây là một câu hỏi thú vị, mà thực sự không có một giải pháp tốt. Có một vài cách khác nhau để giải quyết vấn đề này.

1. Giả sử phân phối cơ bản và các khoảnh khắc khớp - như được đề xuất trong các câu trả lời của @ivant và @onestop. Một nhược điểm là việc khái quát hóa đa biến có thể không rõ ràng.

2. Xấp xỉ xấp xỉ. Trên trang giấy này:

   Gillespie, CS và Renshaw, E. Một phép tính xấp xỉ yên được cải thiện. Khoa học sinh học toán học , 2007.

   Chúng tôi xem xét việc khôi phục pdf / pmf khi chỉ được cung cấp trong vài khoảnh khắc đầu tiên. Chúng tôi thấy rằng phương pháp này hoạt động khi độ lệch không quá lớn.

3. Mở rộng Laguerre:

   Mustapha, H. và Dimitrakopoulosa, R. Tổng quát Laguerre mở rộng mật độ xác suất đa biến với các khoảnh khắc . Máy tính & Toán học với Ứng dụng , 2010.

   Kết quả trong bài báo này có vẻ hứa hẹn hơn, nhưng tôi đã không mã hóa chúng.

Kết hợp phân phối dữ liệu bằng bốn khoảnh khắc đầu tiên chính xác là những gì Karl Pearson đã nghĩ ra gia đình Pearson về phân phối xác suất liên tục (dĩ nhiên khả năng tối đa là phổ biến hơn nhiều trong những ngày này). Nên đơn giản để phù hợp với thành viên có liên quan của gia đình đó, sau đó sử dụng cùng loại hiệu chỉnh liên tục như bạn đưa ra ở trên cho phân phối bình thường.

Tôi giả sử bạn phải có một kích thước mẫu thực sự lớn? Mặt khác, các ước tính mẫu về độ lệch và đặc biệt là kurtosis thường không chính xác, cũng như rất nhạy cảm với các ngoại lệ. Trong mọi trường hợp, tôi khuyên bạn nên xem L-khoảnh khắc như một sự thay thế có một số lợi thế so với các khoảnh khắc thông thường có thể thuận lợi cho việc phân phối phù hợp với dữ liệu.

Bạn có thể thử sử dụng phân phối xiên bình thường và xem liệu mức độ tổn thương dư thừa cho các bộ dữ liệu cụ thể của bạn có đủ gần với mức độ tổn thương dư thừa của phân phối cho độ lệch đã cho hay không. Nếu có, bạn có thể sử dụng cdf phân phối bình thường để ước tính xác suất. Nếu không, bạn sẽ phải đưa ra một phép chuyển đổi sang pdf bình thường / xiên tương tự như bản được sử dụng cho phân phối chuẩn lệch, điều này sẽ cho phép bạn kiểm soát cả độ lệch và độ nhiễu quá mức.