Tìm phân phối phạm vi mẫu cho dân số Beta

Đặt là các biến ngẫu nhiên có mật độ$X_1,X_2,\ldots,X_n$

$$f(x)=2(1-x)\mathbf1_{0<x<1}$$

Tôi đang cố gắng để phân phối phạm vi mẫu $R=X_{(n)}-X_{(1)}$.

Cách thông thường tôi làm những vấn đề này là trước tiên tìm mật độ khớp của $(R,S)$ đang lấy $S=X_{(1)}$và sau đó tìm phân phối của $R$như một mật độ biên. Điều này khá đơn giản nói chung vì chúng ta biết phân phối chung của$(X_{(1)},X_{(n)})$. Tuy nhiên, đối với vấn đề cụ thể này, việc tích hợp để tìm pdf cận biên khá khó khăn để đánh giá bằng tay.

Đối với các phân phối hoàn toàn liên tục, nó dễ dàng được hiển thị thông qua thay đổi các biến có mật độ khớp $(R,S)$ được đưa ra bởi

$$f_{R,S}(r,s)=n(n-1)(F(r+s)-F(s))^{n-2}f(s)f(r+s)\mathbf1_{s<r+s}$$

, Ở đâu $F$ là hàm phân bố dân cư.

Vì vậy, ở đây tôi có sau khi đơn giản hóa

$$f_{R,S}(r,s)=4n(n-1)(r(2-2s-r))^{n-2}(1-s)(1-r-s)\mathbf1_{0<s<r+s<1}$$

Điều đó có nghĩa là pdf của $R$ cho $0<r<1$ nên là

$$\begin{align} f_R(r)&=\int_0^{1-r}f_{R,S}(r,s)\,ds \\&=4n(n-1)r^{n-2}\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds \end{align}$$

Bây giờ tôi tích hợp bởi các bộ phận

$$I=\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds$$

ghi chú điều đó

$$d\,[(1-s)(1-r-s)]=(2s+r-2)\,ds$$

Bỏ qua một số chi tiết, tôi nhận được

$$\begin{align} I&=\left[(1-s)(1-r-s)\frac{(2-2s-r)^{n-1}}{2(1-n)}\right]_0^{1-r}+\int_0^{1-r}\frac{(2-2s-r)^n}{2(1-n)}\,ds \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}-\frac{1}{4(1-n)}\int_{2-r}^{r}t^n\,dt \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left[r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right] \end{align}$$

Có vẻ như không phải vậy, nhưng làm điều này bằng tay và viết ra từng bước mất một khoảng thời gian hợp lý.

Cuối cùng, tôi nhận được bản pdf của $R$ như

$$f_R(r)=4n(n-1)r^{n-2}\left[\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left\{r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right\}\right]\mathbf1_{0<r<1}$$

Thành thật mà nói, sau khi tính toán tẻ nhạt, tôi không biết liệu tôi có muốn kiểm tra xem điều này có tích hợp với $1$hoặc không (không sử dụng phần mềm). Vì vậy, tôi không biết nếu câu trả lời này thậm chí có ý nghĩa.

Tôi muốn biết về bất kỳ thủ tục thay thế nào để giải quyết vấn đề, và có lẽ là một cách hiệu quả hơn. Tôi nghĩ rằng phương pháp CDF cho kết quả gần như phức tạp.

chỉnh sửa: vui lòng ngừng bỏ phiếu bình luận này, đó là một bình luận và không nên được chấp nhận là câu trả lời của OP. Vui lòng đọc các bình luận và đọc các tài liệu nếu bạn không quen thuộc với kỹ thuật này. Dường như mối quan hệ giữa phân phối thống nhất và phân phối beta của số liệu thống kê được đặt hàng không được dạy / hiểu rõ.

Tôi đoán bạn đã nhận ra phạm vi được phân phối dưới dạng mật độ beta? Chuyển đổi sang Đồng phục nếu bạn không thích làm việc với Beta. Lời khuyên của tôi là không tích hợp nó ra, chỉ cần suy nghĩ về hình thức này giống như thế nào, nó có thể không có dạng đóng nếu liên quan đến chức năng beta không hoàn chỉnh nhưng không thực sự cần thiết để tìm phân phối.