Tôi có một biến ngẫu nhiên $Y = \frac{e^{X}}{1 + e^{X}}$ và tôi biết$X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

Có cách nào để tính $\mathbb{E}(Y)$ không? Tôi đã cố gắng tìm ra tích phân, nhưng không đạt được nhiều tiến bộ. Nó thậm chí có thể?

Như đã đề cập trong các nhận xét và câu trả lời của @Martijn, dường như không có giải pháp phân tích nào cho $E(Y)$ ngoài trường hợp đặc biệt trong đó $\mu = 0$ mang lại cho $E(Y) = 0.5$ .

Ngoài ra bởi bất đẳng thức của Jensen, chúng ta có $E(Y) = E(f(X)) < f(E(X))$ nếu $\mu > 0$ và ngược lại rằng $E(Y) = E(f(X)) > f(E(X))$ nếu $\mu < 0$ . Vì $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$ là lồi khi$x < 0$và lõm khi$x > 0$và hầu hết các khối mật độ bình thường sẽ nằm trong những khu vực phụ thuộc vào giá trị của$\mu$.

Có nhiều cách để tính gần đúng $E(Y)$ , tôi đã nêu chi tiết một vài cách tôi quen thuộc và bao gồm một số mã R ở cuối.

Lấy mẫu

Điều này khá dễ hiểu / thực hiện:

nơi mà chúng tôi vẽ mẫu $x_1, \ldots, x_n$ từ $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ .

Hội nhập số

Điều này bao gồm nhiều phương pháp xấp xỉ tích phân ở trên - trong mã tôi đã sử dụng hàm tích hợp của R sử dụng phương pháp cầu phương thích nghi.

Biến đổi không tập trung

Xem ví dụ Bộ lọc Kalman không tập trung cho Ước tính phi tuyến của Eric A. Wan và Rudolph van der Merwe mô tả:

Phép biến đổi không tập trung (UT) là một phương pháp để tính toán số liệu thống kê của một biến ngẫu nhiên trải qua một phép biến đổi phi tuyến

Phương pháp này bao gồm việc tính toán một số lượng nhỏ "điểm sigma" sau đó được biến đổi bởi $f$ và lấy giá trị trung bình có trọng số. Điều này trái ngược với việc lấy mẫu ngẫu nhiên nhiều điểm, biến đổi chúng bằng $f$ và lấy giá trị trung bình.

Phương pháp này hiệu quả hơn nhiều so với lấy mẫu ngẫu nhiên. Thật không may, tôi không thể tìm thấy một triển khai R trực tuyến vì vậy đã không bao gồm nó trong mã dưới đây.

Mã

Đoạn mã sau tạo dữ liệu với các giá trị khác nhau của $\mu$ và cố định $\sigma$ . Nó kết quả đầu ra f_mulà $f(E(X))$ , và xấp xỉ của $E(Y) = E(f(X))$ thông qua samplingvà integration.

integrate_approx <- function(mu, sigma) {
    f <- function(x) {
        plogis(x) * dnorm(x, mu, sigma)
    }
    int <- integrate(f, lower = -Inf, upper = Inf)
    int$value
}

sampling_approx <- function(mu, sigma, n = 1e6) {
    x <- rnorm(n, mu, sigma)
    mean(plogis(x))
}

mu <- seq(-2.0, 2.0, by = 0.5)

data <- data.frame(mu = mu,
                   sigma = 3.14,
                   f_mu = plogis(mu),
                   sampling = NA,
                   integration = NA)

for (i in seq_len(nrow(data))) {
    mu <- data$mu[i]
sigma <- data$sigma[i]
    data$sampling[i] <- sampling_approx(mu, sigma)
data$integration[i] <- integrate_approx(mu, sigma)
}

đầu ra:

    mu sigma      f_mu  sampling integration
1 -2.0  3.14 0.1192029 0.2891102   0.2892540
2 -1.5  3.14 0.1824255 0.3382486   0.3384099
3 -1.0  3.14 0.2689414 0.3902008   0.3905315
4 -0.5  3.14 0.3775407 0.4450018   0.4447307
5  0.0  3.14 0.5000000 0.4999657   0.5000000
6  0.5  3.14 0.6224593 0.5553955   0.5552693
7  1.0  3.14 0.7310586 0.6088106   0.6094685
8  1.5  3.14 0.8175745 0.6613919   0.6615901
9  2.0  3.14 0.8807971 0.7105594   0.7107460

BIÊN TẬP

Tôi thực sự đã tìm thấy một phép chuyển đổi không tập trung dễ dàng trong bộ lọc gói python (mặc dù nó thực sự khá nhanh để thực hiện từ đầu):

import filterpy.kalman as fp
import numpy as np
import pandas as pd


def sigmoid(x):
    return 1.0 / (1.0 + np.exp(-x))


m = 9
n = 1
z = 1_000_000
alpha = 1e-3
beta = 2.0
kappa = 0.0
means = np.linspace(-2.0, 2.0, m)
sigma = 3.14
points = fp.MerweScaledSigmaPoints(n, alpha, beta, kappa)
ut = np.empty_like(means)
sampling = np.empty_like(means)

for i, mean in enumerate(means):
    sigmas = points.sigma_points(mean, sigma**2)
    trans_sigmas = sigmoid(sigmas)
    ut[i], _ = fp.unscented_transform(trans_sigmas, points.Wm, points.Wc)

    x = np.random.normal(mean, sigma, z)
    sampling[i] = np.mean(sigmoid(x))

print(pd.DataFrame({"mu": means,
                    "sigma": sigma,
                    "ut": ut,
                    "sampling": sampling}))

đầu ra nào:

    mu  sigma        ut  sampling
0 -2.0   3.14  0.513402  0.288771
1 -1.5   3.14  0.649426  0.338220
2 -1.0   3.14  0.716851  0.390582
3 -0.5   3.14  0.661284  0.444856
4  0.0   3.14  0.500000  0.500382
5  0.5   3.14  0.338716  0.555246
6  1.0   3.14  0.283149  0.609282
7  1.5   3.14  0.350574  0.662106
8  2.0   3.14  0.486598  0.710284

$\mu$$\sigma$$Y = f(X)$

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.random.normal(means[0], sigma, z)
plt.hist(sigmoid(x), bins=50)
plt.title("mu = {}, sigma = {}".format(means[0], sigma))
plt.xlabel("f(x)")
plt.show()

$\sigma$

$Y$

Thông tin thêm về các bản phân phối này được mô tả trong một bài viết có sẵn miễn phí: Atchison, J. và Sheng M. Shen. "Phân phối logistic-normal: Một số thuộc tính và cách sử dụng." Biometrika 67.2 (1980): 261-272.

Trong văn bản đó, họ không đưa ra bất kỳ biểu thức nào cho các giới hạn, xấp xỉ hoặc hành vi của các khoảnh khắc (ngoại trừ việc đề cập rằng chúng tồn tại). Nhưng, chúng tiếp tục với các biểu thức cho giá trị kỳ vọng cho tỷ lệ của hai thành phần trong một biến phân phối chuẩn logistic đa biến.