Những quá trình nào có thể tạo ra dữ liệu hoặc tham số phân phối Laplace (nhân số mũ)?

16

Rất nhiều bản phân phối có "huyền thoại gốc", hoặc ví dụ về các quy trình vật lý mà chúng mô tả tốt:

Bạn có thể nhận dữ liệu được phân phối bình thường từ tổng các lỗi không tương thích thông qua Định lý giới hạn trung tâm
Bạn có thể nhận dữ liệu phân phối nhị phân từ các lần lật đồng xu độc lập hoặc các biến phân phối Poisson từ giới hạn của quy trình đó
Bạn có thể nhận dữ liệu phân tán theo cấp số nhân từ thời gian chờ dưới tốc độ phân rã không đổi.

Và như thế.

Nhưng những gì về phân phối Laplace ? Nó hữu ích cho việc chính quy hóa L1 và hồi quy LAD , nhưng thật khó để tôi nghĩ về một tình huống mà người ta thực sự mong đợi để nhìn thấy nó trong tự nhiên. Khuếch tán sẽ là Gaussian và tất cả các ví dụ tôi có thể nghĩ đến với các phân phối theo cấp số nhân (ví dụ thời gian chờ) liên quan đến các giá trị không âm.

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
nguồn

2

Liên quan: stats.stackexchange.com/questions/71126/ Google .

— StubbornAtom

14

Ở cuối trang Wikipedia mà bạn liên kết là một vài ví dụ:

Nếu và là phân phối theo cấp số nhân của IID, có phân phối Laplace. $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$
Nếu là các bản phân phối chuẩn IID tiêu chuẩn, có phân phối Laplace tiêu chuẩn. Vì vậy, yếu tố quyết định của ma trận ngẫu nhiên với các mục thông thường tiêu chuẩn IID có phân phối Laplace. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Nếu là đồng phục IID trên , thì có phân phối Laplace tiêu chuẩn. $X_1, X_2$ $[0,1]$ $\log \frac{X_1}{X_2}$

— Douglas Zare
nguồn

16

+1 Có thể đáng chú ý rằng cả ba ví dụ này thực sự giống nhau: # 2 có thể được viết lại thành , sự khác biệt theo tỷ lệ của hai phân phối (Exponential) và # 3 là sự khác biệt của hai phân phối mũ vì là thừa.

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$

\log (X_{i})

$\log(X_i)$

— whuber

2

@whuber: Cảm ơn lời giải thích đó vì lý do tại sao yếu tố quyết định giống như những người khác! Tôi đã rất ngạc nhiên khi thấy nó, vì tôi đã đoán rằng mật độ của yếu tố quyết định sẽ thay đổi trơn tru, giống như ở mọi nơi trừ .

0

$0$

— Douglas Zare

2

Vì vậy, tôi đang cố gắng nghĩ về một "câu chuyện" phù hợp với bất kỳ ví dụ nào trên wikipedia. Nói rằng tôi đang chơi pinball với anh trai tệ hại không kém của tôi. Mỗi trò chơi chúng tôi chơi một quả bóng mỗi. Gần như bất kỳ thời điểm nào cũng có một cơ hội như nhau rằng tôi (hoặc anh ấy) sẽ mất một quả bóng và điểm số về cơ bản là một hàm tuyến tính trong bao lâu tôi chơi. Sau đó, điểm của tôi (và của anh ấy) có thể được mô hình hóa bằng cách phân phối theo cấp số nhân và sự khác biệt giữa điểm của tôi và anh trai tôi mỗi vòng sẽ được phân phối Laplace. Sắp xếp công trình?

— Rasmus Bååth

2

Xác định phân phối hình học ghép là tổng của các biến ngẫu nhiên iid , trong đó được phân phối giống như phân phối hình học với tham số . Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên iid có nghĩa hữu hạn và phương sai . $N_p$ $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ $N_p$ $p$ $X_i$ $\mu$ $v$

Điều đó đã được Gnedenko chỉ ra rằng trong giới hạn , phân phối hình học hỗn hợp tiếp cận phân phối Laplace. $p\to 0$

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

Mật độ của là $Laplace(a,b)$ $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

BV Gnedenko, Định lý giới hạn cho tổng số ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập dương, Proc. Toán học Berkeley thứ 6. Thống kê Xác suất. 2, 537-549, 1970.

— danp
nguồn