Tổng hai sản phẩm bình thường là Laplace?

Rõ ràng là nếu , thì$X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Tôi đã nhìn thấy các bài báo về các hình thức bậc hai tùy ý, luôn luôn dẫn đến các biểu thức chi bình phương phi trung tâm khủng khiếp.

Mối quan hệ đơn giản ở trên dường như không rõ ràng đối với tôi, vì vậy (nếu nó là sự thật!) Có ai có bằng chứng đơn giản về những điều trên không?

Một chuỗi các bước cơ bản sử dụng các mối quan hệ nổi tiếng giữa các bản phân phối và một bản sắc phân cực đại số đơn giản cung cấp một minh họa cơ bản và trực quan.

Tôi đã tìm thấy danh tính phân cực này thường hữu ích cho việc suy luận và tính toán với các sản phẩm của các biến ngẫu nhiên, vì nó làm giảm chúng thành các tổ hợp tuyến tính của các hình vuông. Nó hơi giống như làm việc với ma trận bằng cách chéo chúng trước. (Có nhiều hơn một kết nối hời hợt ở đây.)

Phân phối Laplace là sự khác biệt của hai số mũ (theo trực giác có ý nghĩa nào đó, bởi vì một số mũ là phân phối "một nửa Laplace"). (Liên kết thể hiện điều này bằng cách thao tác các hàm đặc trưng, ​​nhưng mối quan hệ có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tích hợp cơ bản theo định nghĩa về sự khác biệt như một tích chập.)

$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

$\chi^2$$2$

Quan hệ đại số

$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

vì thế $X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$