Làm cách nào để kiểm tra xem hai ước tính tham số trong cùng một mô hình có khác nhau đáng kể không?

Tôi có mô hình

$$y=x^a \times z^b + e$$

Trong đó $y$ là biến phụ thuộc, và là biến giải thích, và là tham số và là một thuật ngữ lỗi. Tôi có các ước tính tham số của và và ma trận hiệp phương sai của các ước tính này. Làm thế nào để kiểm tra nếu a và b khác nhau đáng kể?$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

Đánh giá giả thuyết rằng $a$ và $b$ là khác nhau tương đương với thử nghiệm vô giá trị giả thuyết $a - b = 0$ (đối với phương án mà $a-b\ne 0$ ).

Các giả thiết phân tích sau đây nó là hợp lý để bạn có thể ước tính $a-b$ là

$$U = \hat a - \hat b.$$ Nó cũng chấp nhận công thức mô hình của bạn (thường là hợp lý), bởi vì các lỗi là phụ gia (và thậm chí có thể tạo ra các giá trị quan sát âm của $y$ ) - không cho phép chúng tôi tuyến tính hóa nó bằng cách lấy logarit của cả hai bên.

Phương sai của $U$ có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận hiệp phương sai $(c_{ij})$ của $(\hat a, \hat b)$ là

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Khi $(\hat a, \hat b)$ được ước tính với ít nhất hình vuông, người ta thường sử dụng một "thử nghiệm t;" có nghĩa là, sự phân bố của

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ được xấp xỉ bởiphân bố Student tvới$n-2$bậc tự do (trong đó$n$là số liệu dữ liệu và$2$đếm số hệ số). Bất kể,$t$thường là cơ sở của bất kỳ thử nghiệm. Bạn có thể thực hiện kiểm tra Z (khi$n$lớn hoặc khi phù hợp với Khả năng tối đa) hoặc khởi động lại, chẳng hạn.

Cụ thể, giá trị p của thử nghiệm t được đưa ra bởi

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

Trong đó $t_{n-2}$ là hàm phân phối Student t (tích lũy). Đây là một biểu thức cho "vùng đuôi:" khả năng biến Sinh viên t (của $n-2$ độ tự do) bằng hoặc vượt quá kích thước của thống kê kiểm tra, $|t|.$

---

Tổng quát hơn, cho số $c_1,$ $c_2,$ và $\mu$ bạn có thể sử dụng chính xác phương pháp tương tự để kiểm tra bất kỳ giả thuyết

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

chống lại sự thay thế hai mặt. (Điều này bao gồm trường hợp đặc biệt nhưng phổ biến của "độ tương phản" .) Sử dụng ma trận hiệp phương sai ước tính $(c_{ij})$ để ước tính phương sai của $U = c_1 a + c_2 b$ và tạo thành thống kê

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

Trên đây là trường hợp $(c_1,c_2) = (1,-1)$ và $\mu=0.$

---

Re$t$$t$$500$$n=5$$t$$a=b=-1/2.$

$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

Đây là mã.

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)