Xác định vấn đề tham số

Tôi luôn đấu tranh để có được bản chất thực sự của nhận dạng trong kinh tế lượng. Tôi biết rằng chúng ta có thể xác định rằng một tham số (giả sử ) nếu chỉ cần nhìn vào phân phối (khớp) của nó, chúng ta có thể suy ra giá trị của tham số. Trong trường hợp đơn giản là , trong đó chúng ta có thể nói rằng được xác định nếu chúng ta biết rằng phương sai . Nhưng nếu trong đó là tham số không xác định thì sao? Có thể xác định và không? y=b1X+uE[u]=0,E[u| x]=0b1Vmộtr( b )>0E[u| X]=aaab$\hat{\theta}$$y=b_1X+u$$E[u]=0,E[u|x]=0$$b_1$$Var(\hat{b})>0$$E[u|X]=a$$a$$a$$b_1$

Nếu tôi mở rộng mô hình thành trong đó và , để hiển thị rằng được xác định, hãy làm Tôi chỉ đơn giản là phải nói lại rằng phương sai cho cả ba tham số lớn hơn 0?$Y=b_0+b_1X+b_2XD=u$E [ u | X , D ] = 0 b 1 , b 2 , b $D\in\{0,1\}$$E[u|X,D]=0$$b_1,b_2,b_3$

Tôi đánh giá cao tất cả sự giúp đỡ trong việc làm sáng tỏ tâm trí của tôi liên quan đến nhận dạng.

Trước tiên hãy xác định các đối tượng sau: Trong mô hình thống kê được sử dụng để mô hình là hàm của , có các tham số được biểu thị bởi vectơ . Các tham số này được phép thay đổi trong không gian tham số . Chúng tôi không quan tâm đến việc ước tính tất cả các tham số này, nhưng chỉ có một tập hợp con nhất định, giả sử trong của các tham số mà chúng tôi biểu thị và thay đổi trong không gian tham số . Trong mô hình của chúng tôi, các biến và các tham sốY X p θ Θ ⊂ R p q ≤ p θ 0 Θ 0 ⊂ R q M X θ Y $M$$Y$$X$$p$$\theta$$\Theta \subset \mathbb{R^p}$$q \leq p$$\theta^0$$\Theta^0 \subset \mathbb{R^q}$$M$$X$$\theta$ bây giờ sẽ được ánh xạ như để giải thích . Ánh xạ này được xác định bởi và các tham số.$Y$$M$

Trong cài đặt này, nhận dạng nói lên điều gì đó về Tương đương quan sát . Cụ thể, nếu tham số là nhận dạng wrt thì nó sẽ giữ . Nói cách khác, không tồn tại một vectơ tham số khác sẽ tạo ra cùng một quá trình tạo dữ liệu, với đặc tả mô hình của chúng tôi . Để làm cho những khái niệm này dễ hiểu hơn, tôi đưa ra hai ví dụ. M ∄ θ 1 ∈ q 0 : θ 1 ≠ θ 0 , M ( θ 0 ) = M ( θ 1 ) θ 1$\theta^0$$M$$\nexists \theta^1 \in \Theta^0: \theta^1 \neq \theta^0, M(\theta^0) = M(\theta^1)$$\theta^1$$M$

Ví dụ 1 : Xác định cho ; mô hình thống kê đơn giản : và giả sử rằng (vì vậy ). Rõ ràng là dù hay , nó sẽ luôn giữ rằng có thể xác định được: Quá trình tạo từ có mối quan hệ với các tham số và . Sửa chữaX ~ N ( μ , σ 2 Tôi n ) ; ε ~ N ( 0 , σ 2 e tôi n ) M Y = một + X b + ε ( một , b ) ∈ R 2 Θ = R 2 θ 0 = ( một , b ) $\theta = (a,b)$$X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$$M$

$$\begin{align} Y = a+Xb+\varepsilon \end{align}$$ $(a,b) \in \mathbb{R^2}$$\Theta = \mathbb{R^2}$$\theta^0 = (a,b)$θ 0 Y X 1 : 1 a b ( a , b ) $\theta^0 = a$$\theta^0$$Y$$X$$1:1$$a$$b$$(a,b)$ , sẽ không thể tìm thấy một tuple thứ hai trong mô tả cùng một Quy trình tạo dữ liệu.$\mathbb{R}$

Ví dụ 2 : Xác định cho ; mô hình thống kê phức tạp hơn : và giả sử rằng và (vì vậy ). Trong khi với , đây sẽ là một mô hình thống kê có thể nhận dạng, điều này không giữ nếu một bao gồm một tham số khác (ví dụ: hoặc ). Tại sao? Bởi vì đối với bất kỳ cặpX ∼ N ( μ , σ 2 I n ) ; ε ∼ N ( 0 , σ 2 e I n ) M ′ Y = a + X ( $\theta = (a,b,c)$$X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$$M'$(a,b)∈R2c∈R∖{0}Θ=R3∖{(l,m,0)| (L,m)∈R2}θ0bc(b,c)B:={(x,y)

$$\begin{align} Y = a+X(\frac{b}{c})+\varepsilon \end{align}$$ $(a,b) \in \mathbb{R^2}$$c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$$\Theta = \mathbb{R^3}\setminus\{(l,m,0)| (l,m) \in \mathbb{R^2}\}$$\theta^0$$b$$c$$(b,c)$, tồn tại vô số cặp khác trong tập . Giải pháp rõ ràng cho vấn đề trong trường hợp này là giới thiệu một tham số mới thay thế phân số để xác định mô hình. Tuy nhiên, người ta có thể quan tâm đến và như các tham số riêng biệt vì lý do lý thuyết - các tham số có thể tương ứng với các tham số quan tâm theo nghĩa lý thuyết (kinh tế). (Ví dụ: có thể là 'xu hướng tiêu thụ' và có thể là 'sự tự tin' và bạn có thể muốn ước tính hai đại lượng này từ mô hình hồi quy của mình. Thật không may, điều này là không thể.)d = b / c b c b $B:=\{(x,y)|(x/y) = (b/c), (x,y)\in\mathbb{R}^2\}$$d = b/c$$b$$c$$b$$c$