Mô hình hỗn hợp: Làm thế nào để rút ra phương trình mô hình hỗn hợp của Henderson?

Trong bối cảnh các yếu tố dự đoán không thiên vị tuyến tính tốt nhất (BLUP), Henderson đã chỉ định các phương trình mô hình hỗn hợp (xem Henderson (1950): Ước tính các thông số di truyền. Biên niên sử thống kê toán học, 21, 309-310). Chúng ta hãy giả sử mô hình hiệu ứng hỗn hợp sau:

$y = X\beta+Zu+e$

Trong đó là vectơ của n biến ngẫu nhiên có thể quan sát được, là vectơ của các hiệu ứng cố định , và là các ma trận đã biết và các vectơ và của các hiệu ứng ngẫu nhiên và sao cho và và$y$$\beta$$p$$X$$Z$$u$$e$$q$$n$$E(u) = 0$$E(e) = 0$

$Var \begin{bmatrix} u \\ e \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G & 0 \\ 0 & R \\ \end{bmatrix}\sigma^2$

trong đó và được biết là ma trận xác định dương và là hằng số dương.$G$$R$$\sigma^2$

Theo Henderson (1950), các ước tính BLUP của của và của được định nghĩa là các giải pháp cho hệ phương trình sau:$\hat {\beta}$$\beta$$\hat {u}$$u$

$X'R^{-1}X\hat {\beta}+X'R^{-1}Z\hat {u} = X'R^{-1}y$

$Z'R^{-1}X\hat {\beta}+(Z'R^{-1}Z + G^{-1})\hat {u} = Z'R^{-1}y$

(Also see: Robinson (1991): That BLUP is a good thing: the estimation of random effects (with discussion). Statistical Science, 6:15–51).

I have not found any derivation of this solution but assume that he approached it as follows:

$(y - X\beta - Zu)'V^{-1}(y - X\beta - Zu)$

where $V = R + ZGZ'$. Hence the solutions should therefore be

$X'V^{-1}X\hat {\beta} + X'V^{-1}Z\hat {u} = X'V^{-1}y$

$Z'V^{-1}X\hat {\beta} + Z'V^{-1}Z\hat {u} = Z'V^{-1}y$.

We also know that $V^{-1} = R^{-1} - R^{-1}Z(G^{-1}+Z'R^{-1}Z)Z'R^{-1}$.

However, ho to proceed to arrive at the mixed-model equations?

One approach is to form the log-likelihood and differentiate this with respect to the random effects $\mathbf{u}$ and set this equal to zero, then repeat, but differentiate with respect to the fixed effects $\boldsymbol{\beta}$.

With the usual normality assumptions we have:

$$\begin{align*} \mathbf{y|u} &\sim \mathcal{N}\mathbf{(X\beta + Zu, R)} \\ \mathbf{u} &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0, G}) \end{align*}$$ where $\mathbf{y}$ is the response vector, $\mathbf{u}$ and $\boldsymbol{\beta}$ are the random effects and fixed effects coefficient vectors $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Z}$ are model matrices for the fixed effects and random effects respectively. The log-likelihood is then:

$$-2\log L(\boldsymbol{\beta,\theta,}\mathbf{u}) = \log|\mathbf{R}|+(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu})'\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) +\log|\mathbf{G}|+\mathbf{u'G^{-1}u}$$ Differentiating with respect to the random and fixed effects: $$\begin{align*} \frac{\partial \log L}{\partial \mathbf{u}} &= \mathbf{Z'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) - \mathbf{G^{-1}u} \\ \frac{\partial \log L}{\partial \boldsymbol{\beta}} &= \mathbf{X'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) \end{align*}$$ After setting these both equal to zero, with some minor re-arranging, we obtain Henderson's mixed model equations:

$$\begin{align*} \mathbf{Z'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{Z'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{u(Z'R^{-1}Z+G^{-1})} \\ \mathbf{X'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{X'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{uX'R^{-1}Z} \end{align*}$$