Sự hội tụ của hàm hiệp phương sai Matérn theo cấp số nhân bình phương

Hàm hiệp phương sai Matérn hội tụ đến hàm hiệp phương sai hàm mũ bình phương.

Nhiều nguồn, trong số đó có sách GPML và Wikipedia , nêu kết quả này. Không ai trong số họ cung cấp chi tiết.

Tôi đang tìm kiếm tài liệu tham khảo cung cấp chi tiết và bằng chứng. Đặc biệt, tôi tự hỏi về loại hội tụ.

— paris
nguồn

Hàm Matérn có thể được viết dưới dạng

\begin{matrix} (*) & f_{ν} (x) = = C_{ν} | x |^{ν} K_{ν} (| x |) \end{matrix}

$f_{\nu}(x) = C_\nu |x|^{\nu} K_{\nu}\left(|x|\right)\tag{*}$

Ở đâu $C_\nu$ là hằng số chuẩn hóa (để tạo giá trị của $f_\nu(0)$ tương đương với $1$ ) và $x = \sqrt{2\nu}\, d/\rho.$

(Điều này đồng ý với ký hiệu Wikipedia trong đó $x$ đại diện $\sqrt{2\nu} d/\rho.$ )

Như được hiển thị tại Hàm tạo mô men của sản phẩm bên trong của hai vectơ ngẫu nhiên gaussian (sử dụng các kỹ thuật cơ bản),

hàm Mỷ tỷ lệ với hàm mật độ để phân phối sản phẩm chấm của hai vectơ ngẫu nhiên trong đó mỗi vectơ có $2\nu+1$ các thành phần và tất cả các thành phần được phân phối độc lập như các biến Bình thường tiêu chuẩn.

Một sản phẩm bên trong như vậy là tổng của $2\nu+1$ sản phẩm độc lập và phân phối giống hệt nhau của các thành phần tương ứng của các vectơ. Mỗi trong số đó là sản phẩm của hai biến Bình thường tiêu chuẩn độc lập $X$ và $Y$ và do đó có nghĩa là $0$ và phương sai

Var (X Y) = = E [(X Y)^{2}] = = E [X^{2}] E [Y^{2}] = = (1) (1) = = 1.

$\operatorname{Var}(XY) = E[(XY)^2] = E[X^2]E[Y^2] = (1)(1) = 1.$

Do đó, sản phẩm bên trong có ý nghĩa $(2\nu+1)(0) = 0$ và phương sai $(2\nu+1)(1)=2\nu+1.$

Các giới hạn trung tâm lý khẳng định rằng các phiên bản bình thường của các sản phẩm này bên trong do đó tiếp cận một phân phối bình thường tiêu chuẩn gần như chắc chắn. Tác dụng của bình thường hóa là thay thế $x$ bởi căn bậc hai của phương sai của nó, $x\sqrt{2\nu+1},$ làm thay đổi yếu tố xác suất $f_{\nu}(x)\mathrm{d}x$ bởi

f_{ν} (x \sqrt{2 ν + 1}) d (x \sqrt{2 ν + 1}) = = \sqrt{2 ν + 1} f_{ν} (x \sqrt{2 ν + 1}) d x .

$f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}(x\sqrt{2\nu+1}) = \sqrt{2\nu+1} f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}x.$

Điều này khác với $(*)$ (nơi chúng ta có thể đưa $\rho=1$ không mất bất kỳ tính tổng quát nào, bởi vì nó chỉ thiết lập đơn vị đo khoảng cách) chỉ trong chừng mực $x$ được nhân với $\sqrt{2\nu+1}$ thay vì $\sqrt{2\nu}.$ Vì tỷ lệ của các thuật ngữ này đạt đến sự thống nhất, nên trong giới hạn, nó không tạo ra sự khác biệt nào. Do đó, sự hội tụ gần như chắc chắn.

Một điều nhỏ bé là bởi vì $f_\nu$ được chuẩn hóa để có chiều cao cực đại là $1,$ đó là $\sqrt{2\pi}$ nhân với chiều cao cực đại của mật độ chuẩn thông thường, độ hội tụ là $\sqrt{2\pi}$ nhân với mật độ chuẩn thông thường chứ không phải mật độ chính nó. Giới thiệu lại hệ số tỷ lệ $\rho$ , chúng tôi đã suy luận - sử dụng tư duy thống kê thuần túy! - đó

$lim_{ν \to \infty} f_{ν} (d) = = điểm kinh nghiệm (- \frac{d^{2}}{2 ρ^{2}})$ $\lim_{\nu\to\infty} f_\nu(d) = \exp\left(-\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$ gần như chắc chắn

Điều này đồng ý với những gì Wikipedia khẳng định .

Biểu đồ này hiển thị các biểu đồ của (màu xanh), (màu đỏ) và Gaussian giới hạn (vàng). Sự hội tụ xảy ra bằng cách kéo đuôi vào để điền vào đỉnh. $f_2$ $f_5$

— whuber
nguồn

+1 để biết chi tiết, tôi đã học được điều gì đó ở đây. Bạn có tình cờ biết một tài liệu tham khảo citable là tốt?

— paris

Một vài văn bản địa lý mô tả gia đình Matérn, nhưng tôi không biết bất kỳ cách sử dụng phương pháp nào tôi đã thực hiện ở đây để chứng minh sự hội tụ cho dạng Gaussian (bình phương hàm mũ).

— whuber