Hiệp phương sai của một biến và kết hợp tuyến tính của các biến khác

Đặt là các biến chuỗi thời gian và hiệp phương sai giữa hai cặp bất kỳ được biết đến. $X,A,B,C,D$

Giả sử chúng ta muốn tìm , trong đó là các hằng số. $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ $a,b,c,d$

Có cách nào để làm điều này mà không cần mở rộng không? $E[(X-E[X])(aA+......)]$

correlation variance covariance

Có cách nào để làm điều này mà không cần mở rộng không? $E[(X-E[X])(aA+......)]$

Đúng. Có một tính chất của hiệp phương sai gọi là song tuyến tính , đó là hiệp phương sai của tổ hợp tuyến tính

c o v (a X + b Y, c W + d Z)

${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$

(trong đó là các hằng số và là các biến ngẫu nhiên) có thể được phân tách thành $a,b,c,d$ $X,Y,W,Z$

a c \cdot c o v (X, W) + a d \cdot c o v (X, Z) + b c \cdot c o v (Y, W) + b d \cdot c o v (Y, Z)

$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$

Trong ví dụ bạn đã đưa ra, bạn có thể sử dụng thuộc tính này để viết dưới dạng $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$

a c o v (X, A) + b c o v (X, B) + c c o v (X, C) + d c o v (X, D)

$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$

— Vĩ mô
nguồn

Nếu tôi có , tôi vẫn có thể diễn đạt nó theo cùng một cách chứ?

c o v (X, a A + b X)

$cov(X,aA + bX)$

@Harokitty, vâng. Hãy nhớ rằng , bạn có thể áp dụng thuộc tính này để thấy rằng .

c o v (X, X) = v a r (X)

${\rm cov}(X,X) = {\rm var}(X)$

c o v (X, a A + b X) = a c o v (X, A) + b v a r (X)

${\rm cov}(X,aA+bX) = a \ {\rm cov}(X,A) + b \ {\rm var}(X)$

— Macro