Làm thế nào để tạo ra các số ngẫu nhiên tương quan (phương tiện, phương sai và mức độ tương quan)?

Tôi xin lỗi nếu điều này có vẻ hơi quá cơ bản, nhưng tôi đoán tôi chỉ đang tìm cách xác nhận sự hiểu biết ở đây. Tôi có cảm giác tôi phải làm điều này theo hai bước và tôi đã bắt đầu thử tìm hiểu các ma trận tương quan, nhưng nó chỉ bắt đầu có vẻ thực sự liên quan. Tôi đang tìm kiếm một lời giải thích ngắn gọn (lý tưởng với các gợi ý về giải pháp mã giả) về một cách nhanh chóng, lý tưởng để tạo ra các số ngẫu nhiên tương quan.

Đưa ra hai biến số chiều cao và cân nặng giả với các phương tiện và phương sai đã biết và một mối tương quan nhất định, tôi nghĩ rằng về cơ bản tôi đang cố gắng hiểu bước thứ hai này sẽ như thế nào:

   height = gaussianPdf(height.mean, height.variance)
   weight = gaussianPdf(correlated_mean(height.mean, correlation_coefficient), 
                        correlated_variance(height.variance, 
                        correlation_coefficient))

• Làm thế nào để tôi tính trung bình và phương sai tương quan? Nhưng tôi muốn xác nhận rằng đó thực sự là vấn đề có liên quan ở đây.
• Tôi có cần phải dùng đến thao tác ma trận không? Hay tôi có điều gì khác rất sai trong cách tiếp cận cơ bản của tôi đối với vấn đề này?

Để trả lời câu hỏi của bạn về "một cách lý tưởng nhanh chóng tốt để tạo số ngẫu nhiên tương quan": Cho một mong muốn sai-hiệp phương sai ma trận đó là theo định nghĩa tích cực nhất định, sự phân hủy Cholesky của nó là: = ; là ma trận tam giác thấp hơn.C L L T$C$$C$$LL^T$$L$

Nếu bây giờ bạn sử dụng ma trận để chiếu một vectơ biến ngẫu nhiên không tương quan , thì phép chiếu kết quả sẽ là các biến ngẫu nhiên tương quan.X Y = L $L$$X$$Y = LX$

Bạn có thể tìm thấy một lời giải thích ngắn gọn tại sao điều này xảy ra ở đây .

+1 cho @ user11852 và @ jem77bfp, đây là những câu trả lời hay. Hãy để tôi tiếp cận điều này từ một khía cạnh khác, không phải vì tôi nghĩ nó thực sự tốt hơn trong thực tế , mà bởi vì tôi nghĩ nó mang tính hướng dẫn. Dưới đây là một vài sự thật có liên quan mà chúng tôi đã biết:

1. X Y N ( 0 , 1 $r$ là độ dốc của đường hồi quy khi cả và được chuẩn hóa , nghĩa là , $X$$Y$$\mathcal N(0,1)$

2. Y $r^2$ là tỷ lệ của phương sai trong quy cho phương sai trong , $Y$$X$

   
   
   (cũng, từ các quy tắc cho phương sai ):

3. phương sai của một biến ngẫu nhiên nhân với một hằng số là bình phương nhân với phương sai ban đầu:
   $$\text{Var}[aX]=a^2\text{Var}[X]$$
4. phương sai thêm , tức là phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên (giả sử chúng là độc lập) là tổng của hai phương sai:
   $$\text{Var}[X+\varepsilon]=\text{Var}[X]+\text{Var}[\varepsilon]$$

Bây giờ, chúng ta có thể kết hợp bốn sự kiện này để tạo ra hai biến thông thường tiêu chuẩn mà quần thể của chúng sẽ có mối tương quan nhất định, (đúng hơn, ), mặc dù các mẫu bạn tạo sẽ có tương quan mẫu khác nhau. Ý tưởng là tạo ra một biến giả ngẫu nhiên , đó là tiêu chuẩn thông thường, , sau đó tìm một hệ số, và phương sai lỗi, , sao cho , trong đó . (Lưu ý rằng phải là để nó hoạt động và hơn nữa, .) Vì vậy, bạn bắt đầu vớiρ X N ( 0 , 1 ) a v e Y ∼ N ( 0 , a 2 + v e ) a 2 + v e = 1 | một | ≤ 1 a = r r a 1 - r 2 x i e i v e y $r$$\rho$$X$$\mathcal N(0,1)$$a$$v_e$$Y \sim\mathcal N(0,a^2+v_e)$$a^2+v_e=1$$|a|$ $\le 1$$a=r$$r$ mà bạn muốn; đó là hệ số của bạn, . Sau đó, bạn tìm ra phương sai lỗi mà bạn sẽ cần, đó là . (Nếu phần mềm của bạn yêu cầu bạn sử dụng độ lệch chuẩn, hãy lấy căn bậc hai của giá trị đó.) Cuối cùng, với mỗi biến thể giả ngẫu nhiên, , mà bạn đã tạo, tạo ra một sai số giả ngẫu nhiên, , với phương sai lỗi thích hợp , và tính toán các biến giả ngẫu nhiên tương quan, , bằng cách nhân và thêm. $a$$1-r^2$$x_i$$e_i$$v_e$$y_i$

Nếu bạn muốn làm điều này trong R, đoạn mã sau có thể phù hợp với bạn:

correlatedValue = function(x, r){
  r2 = r**2
  ve = 1-r2
  SD = sqrt(ve)
  e  = rnorm(length(x), mean=0, sd=SD)
  y  = r*x + e
  return(y)
}

set.seed(5)
x = rnorm(10000)
y = correlatedValue(x=x, r=.5)

cor(x,y)
[1] 0.4945964

(Chỉnh sửa: Tôi quên đề cập :) Như tôi đã mô tả, quy trình này cung cấp cho bạn hai biến tương quan chuẩn thông thường. Nếu bạn không muốn các quy tắc chuẩn , nhưng muốn các biến có một số phương tiện cụ thể (không phải 0) và SD (không phải 1), bạn có thể chuyển đổi chúng mà không ảnh hưởng đến mối tương quan. Do đó, bạn sẽ trừ đi giá trị trung bình quan sát được để đảm bảo rằng giá trị trung bình chính xác bằng , nhân biến số với SD bạn muốn và sau đó thêm giá trị trung bình bạn muốn. Nếu bạn muốn giá trị trung bình quan sát dao động bình thường xung quanh giá trị trung bình mong muốn, bạn sẽ thêm lại chênh lệch ban đầu. Về cơ bản, đây là một phép biến đổi điểm z theo chiều ngược lại. Bởi vì đây là một biến đổi tuyến tính, biến được chuyển đổi sẽ có cùng mối tương quan với biến khác như trước đây. $0$

Một lần nữa, điều này, ở dạng đơn giản nhất, chỉ cho phép bạn tạo ra một cặp biến tương quan (điều này có thể được nhân rộng, nhưng trở nên xấu nhanh), và chắc chắn không phải là cách thuận tiện nhất để hoàn thành công việc. Trong R, bạn sẽ muốn sử dụng ? Mvrnorm trong gói MASS , vì cả hai đều dễ dàng hơn và vì bạn có thể tạo nhiều biến với ma trận tương quan dân số nhất định. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng đáng để thực hiện quy trình này để xem một số nguyên tắc cơ bản diễn ra theo cách đơn giản.

Nói chung, đây không phải là điều đơn giản để làm, nhưng tôi tin rằng có các gói để tạo biến thông thường đa biến (ít nhất là trong R, xem mvrnormtrong MASSgói), trong đó bạn chỉ cần nhập ma trận hiệp phương sai và vectơ trung bình.

Ngoài ra còn có một cách tiếp cận "mang tính xây dựng" hơn. Giả sử chúng ta muốn mô hình hóa một vectơ ngẫu nhiên và chúng ta có hàm phân phối . Bước đầu tiên là lấy hàm phân phối biên; tức là tích hợp trên tất cả : Sau đó, chúng tôi tìm thấy - hàm nghịch đảo của - và cắm một biến ngẫu nhiên được phân phối đồng đều trên khoảng . Trong bước này, chúng tôi tạo tọa độ đầu tiên .$(X_1,X_2)$$F(x_1,x_2)$$F$$x_2$

Bây giờ, vì chúng ta đã có một tọa độ, chúng ta cần cắm nó vào hàm phân phối ban đầu và sau đó nhận hàm phân phối có điều kiện với điều kiện : trong đó là hàm mật độ xác suất của phân phối cận biên ; tức là .$F(x_1,x_2)$$x_1=\hat{x}_1$

Sau đó, một lần nữa, bạn tạo một biến phân phối đồng đều trên (độc lập với ) và cắm nó vào nghịch đảo của . Do đó, bạn có được ; nghĩa là, thỏa mãn . Phương pháp này có thể được khái quát thành các vectơ có nhiều chiều hơn, nhưng nhược điểm của nó là bạn phải tính toán, phân tích hoặc bằng số, nhiều hàm. Ý tưởng cũng có thể được tìm thấy trong bài viết này: http://www.econ-pol.unisi.it/dmq/pdf/DMQ_WP_34.pdf .$\xi_2$$[0,1]$$\xi_1$$F(x_2 | X_1=\hat{x}_1)$$\hat{x}_2=(F(x_2 | X_1=\hat{x}_1))^{-1}(\xi)$$\hat x_2$$F(\hat x_2 | X_1=\hat{x}_1) = \xi$

Nếu bạn không hiểu ý nghĩa của việc cắm biến đồng nhất vào hàm phân phối xác suất nghịch đảo, hãy thử tạo một bản phác thảo về trường hợp đơn biến và sau đó nhớ cách giải thích hình học của hàm nghịch đảo.

Nếu bạn đã sẵn sàng để từ bỏ hiệu quả, bạn có thể sử dụng một thuật ngữ vứt bỏ. Ưu điểm của nó là, nó cho phép mọi loại phân phối (không chỉ Gaussian).

Bắt đầu bằng cách tạo hai chuỗi số không ngẫu nhiên và với bất kỳ phân phối mong muốn nào. Đặt theo giá trị mong muốn của hệ số tương quan. Sau đó làm như sau:$\{x_i\}_{i=1}^N$$\{y_i\}_{i=1}^N$$C$

1) Tính hệ số tương quan$c_{old}=corr(\{x_i\},\{y_i\})$

2) Tạo hai munbers ngẫu nhiên và$n_1$$n_2: 1 \leq n_{1,2} \leq N$

3) Hoán đổi số và$x_{n_1}$$x_{n_2}$

4) Tính tương quan mới$c_{new}=corr( \{x_i\},\{y_i\})$

5) Nếusau đó giữ trao đổi. Khác hoàn tác trao đổi.$|C-c_{new}| < |C-c_{old}|$

6) Nếu dừng, khác goto 1)$|C-c| < \epsilon$

Hoán đổi ngẫu nhiên sẽ không làm thay đổi phân phối biên của .${x_i}$

Chúc may mắn!