Ý nghĩa trực quan của việc có mối quan hệ tuyến tính giữa các bản ghi của hai biến là gì?

Tôi có hai biến không thể hiện nhiều mối tương quan khi được vẽ với nhau, nhưng mối quan hệ tuyến tính rất rõ ràng khi tôi vẽ các bản ghi của từng biến một lần nữa.

Vì vậy, tôi sẽ kết thúc với một mô hình của loại:

$$\log(Y) = a \log(X) + b$$ , rất tuyệt vời về mặt toán học nhưng dường như không có giá trị giải thích của mô hình tuyến tính thông thường.

Làm thế nào tôi có thể giải thích một mô hình như vậy?

Bạn chỉ cần lấy số mũ của cả hai mặt của phương trình và bạn sẽ có được mối quan hệ tiềm năng, điều đó có thể có ý nghĩa đối với một số dữ liệu.

$$\log(Y) = a\log(X) + b$$

$$\exp(\log(Y)) = \exp(a \log(X) + b)$$

$$Y = e^b\cdot X^a$$

Và vì chỉ là một tham số có thể nhận bất kỳ giá trị dương nào, nên mô hình này tương đương với:$e^b$

$$Y=c \cdot X^a$$

Cần lưu ý rằng biểu thức mô hình nên bao gồm cụm từ lỗi và những thay đổi của các biến này có tác dụng thú vị đối với nó:

$$\log(Y) = a \log(X) + b + \epsilon$$

$$Y = e^b\cdot X^a\cdot \exp(\epsilon)$$

Nghĩa là, mô hình của bạn có lỗi phụ gia tuân theo các điều kiện cho OLS (lỗi phân phối thông thường có phương sai không đổi) tương đương với mô hình tiềm năng có lỗi nhân với logaritm theo phân phối bình thường với phương sai không đổi.

Bạn có thể lấy mô hình và tính tổng vi phân, bạn sẽ kết thúc với một cái gì đó như: mang lại $\log(Y)=a\log(X)+b$

$$\frac{1}YdY=a\frac{1}XdX$$ $$\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}=a$$

Do đó một giải thích đơn giản của hệ số sẽ là sự thay đổi phần trăm trong cho một sự thay đổi phần trăm trong . Điều này ngụ ý hơn nữa là biến tăng trưởng tại một hằng số phần ( ) của tốc độ tăng trưởng của .$a$$Y$$X$$Y$$a$$X$

Theo trực giác cung cấp cho chúng ta thứ tự độ lớn của một biến, vì vậy chúng ta có thể xem mối quan hệ là thứ tự độ lớn của hai biến có liên quan tuyến tính. Ví dụ, việc tăng công cụ dự đoán theo một bậc độ lớn có thể liên quan đến việc tăng ba bậc độ lớn của phản ứng.$\log$

Khi vẽ sơ đồ bằng cách sử dụng biểu đồ log-log, chúng tôi hy vọng sẽ thấy mối quan hệ tuyến tính. Sử dụng một ví dụ từ câu hỏi này , chúng ta có thể kiểm tra các giả định mô hình tuyến tính:

Điều chỉnh câu trả lời của @Rscrill với dữ liệu rời rạc thực tế, xem xét

$$\log(Y_t) = a\log(X_t) + b,\;\;\; \log(Y_{t-1}) = a\log(X_{t-1}) + b$$

$$\implies \log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = a\left[\log(X_t)-\log(X_{t-1})\right]$$

Nhưng

$$\log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = \log\left(\frac{Y_t}{Y_{t-1}}\right) \equiv \log\left(\frac{Y_{t-1}+\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) = \log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$$

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ là phần trăm thay đổi của giữa các giai đoạn và hoặc tốc độ tăng trưởng của , giả sử . Khi nó nhỏ hơn , chúng ta có một xấp xỉ chấp nhận được là$Y$$t-1$$t$$Y_t$$g_{Y_{t}}$$0.1$

$$\log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) \approx \frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}=g_{Y_{t}}$$

Vì vậy, chúng tôi nhận được

$$g_{Y_{t}}\approx ag_{X_{t}}$$

trong đó nghiên cứu thực nghiệm về điều trị lý thuyết của @Rscrill.

Mối quan hệ tuyến tính giữa các bản ghi tương đương với sự phụ thuộc của luật công suất : Trong vật lý hành vi như vậy có nghĩa là hệ thống không có tỷ lệ hoặc bất biến tỷ lệ . Ví dụ, nếu là khoảng cách hoặc thời gian, điều này có nghĩa là sự phụ thuộc vào không thể được đặc trưng bởi một chiều dài hoặc thang thời gian đặc trưng (trái ngược với phân rã theo cấp số nhân). Kết quả là, một hệ thống như vậy thể hiện một sự phụ thuộc tầm xa của trên .

$$Y \sim X^\alpha$$ $X$$X$$Y$$X$