Mật độ của Y = log (X) cho X phân phối Gamma

Câu hỏi này liên quan chặt chẽ đến bài đăng này

Giả sử tôi có một biến ngẫu nhiên và tôi xác định . Tôi muốn tìm ra hàm mật độ xác suất của .$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Ban đầu tôi đã nghĩ rằng tôi sẽ chỉ định nghĩa hàm phân phối tích lũy X, thực hiện thay đổi biến và lấy "bên trong" của tích phân làm mật độ của mình, như vậy,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Ở đây tôi sử dụng và , sau đó phụ trong định nghĩa cho và theo .$y = \log x$$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

Thật không may, đầu ra không tích hợp đến 1. Tôi không chắc lỗi của mình ở đâu. Một số có thể cho tôi biết lỗi của tôi ở đâu?

Viết mật độ với các chỉ số để có một bức tranh rõ ràng.

Nếu , thì $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

Nếu , với nghịch đảo , thì và CDF được lấy từ định nghĩa $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$