Là giá trị tuyệt đối của một loạt văn phòng phẩm cũng đứng yên?

8

Tôi biết rằng các phép biến đổi tuyến tính của chuỗi thời gian phát sinh từ các quá trình đứng yên (yếu) cũng đứng yên. Tuy nhiên, điều này có đúng đối với việc chuyển đổi một chuỗi thông qua việc lấy giá trị tuyệt đối của từng phần tử không? Nói cách khác, nếu là văn phòng phẩm, thì dừng không? $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

time-series data-transformation stationarity

— Arthur Campello
nguồn

1

Chỉ cần một lưu ý về thuật ngữ: Đối với tôi, văn phòng phẩm có nghĩa là tất cả các phân phối chiều hữu hạn là bất biến dịch chuyển. Với định nghĩa này, câu trả lời rõ ràng là "có". Nếu bạn muốn nói rằng chỉ có ý nghĩa và hiệp phương sai của các phân phối chiều hữu hạn là bất biến dịch chuyển (đó là điều mà tôi sẽ gọi là "văn phòng phẩm yếu"), thì câu trả lời rõ ràng là không, như câu trả lời của @Yves cho thấy. Không có lý do để mong đợi rằng | X | được điều khiển bởi X và X ^ 2. Nếu bởi "văn phòng phẩm yếu", bạn có nghĩa là chỉ có nghĩa là bất biến, như FransRodenburg, bạn nên thay đổi thuật ngữ của mình.

— Tunea

6

Trong một trường hợp cụ thể, điều này có phần đúng:

Nếu chuỗi thời gian của bạn đứng yên với lỗi phân phối bình thường, thì các giá trị tuyệt đối của chuỗi thời gian ban đầu của bạn tuân theo phân phối bình thường được xếp lại cố định. Vì ngay cả văn phòng phẩm yếu có nghĩa là cả giá trị trung bình và phương sai không đổi theo thời gian, các giá trị tuyệt đối cũng sẽ đứng yên. Đối với các phân phối khác, điều này có nghĩa là các giá trị tuyệt đối của chuỗi thời gian ban đầu ít nhất là ổn định, vì phương sai không đổi của các giá trị ban đầu chuyển thành giá trị trung bình không đổi của các giá trị mới.

Tuy nhiên, nếu chuỗi thời gian ban đầu của bạn chỉ có giá trị trung bình không đổi, phương sai có thể thay đổi theo thời gian, điều này sẽ ảnh hưởng đến giá trị trung bình của các giá trị tuyệt đối. Do đó, các giá trị tuyệt đối sẽ không tự (yếu) đứng yên.

Một câu trả lời tổng quát hơn sẽ yêu cầu một số nghiên cứu về hàm tạo mô men của giá trị tuyệt đối của một biến ngẫu nhiên. Có lẽ ai đó có nền tảng toán học hơn có thể trả lời điều đó.

— Frans Rodenburg
nguồn

1

Trong một chuỗi thời gian đứng yên yếu, phương sai không thể thay đổi theo thời gian; nó là một hằng số Vì vậy, hãy làm rõ nếu đó là phương sai của chuỗi thời gian ban đầu hoặc phương sai của các giá trị tuyệt đối mà bạn đang thảo luận trong câu đó.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Bạn nói đúng, tôi đã nhầm lẫn thuật ngữ và chỉnh sửa câu trả lời của mình cho phù hợp.

— Frans Rodenburg

3

Đặt là một chuỗi thời gian trong đó là biến ngẫu nhiên rời rạc lấy các giá trị với xác suất bằng nhau . Có thể dễ dàng xác minh rằng và và do đó, quá trình này không ổn định. Nó rõ ràng không phải là văn phòng phẩm nghiêm ngặt kể từ và , $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $X_n$ $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ $\frac 14$ $E[X_n] = 0$

\begin{aligned} E [X_{m} X_{m + n}] & = \frac{1}{4} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n) \\ = + (- \cos (m)) (- \cos (m + n)) + (- \sin (m)) (- \sin (m + n))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n)] \\ = \frac{1}{2} \cos (n) \end{aligned}

$\begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~~~~~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align}$

X_{0}

$X_0$

X_{n}

$X_n$

n \neq 0

$n\neq 0$ đảm nhận các giá trị khác nhau và do đó, các bản phân phối của và khác nhau thay vì giống nhau như cần thiết (cùng với nhiều yêu cầu khác) cho sự ổn định nghiêm ngặt.

X_{n}

$X_n$

X_{m}

$X_m$

Đối với quy trình dừng ổn định được mô tả ở trên, quy trình không phải là văn phòng phẩm yếu vì không phải là một hằng số như là cần thiết cho tính dừng yếu (mặc dù nó là đúng là chức năng tự tương quan là một chức năng của một mình). $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ $n$

$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$

— Dilip Sarwate
nguồn

2

$X_i$ $\mathbb{E}[|X|]$ $\mathbb{E}[|X_i|]$ $i$

$\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[X^2]$ $\mathbb{E}[|X|]$ $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$

— Yves
nguồn

Bạn có E | X | thay vì E [| X |].

— Tích lũy

Tôi không thấy làm thế nào bạn có thể đảm bảo rằng chế độ tự động là không đổi.

— Tích lũy

Có, nó có thể rõ ràng hơn sử dụng ký hiệu thứ hai, mặc dù cả hai đều hợp lệ.

— Yves

X_{i}

$X_i$

| X_{i} |

$|X_i|$

2

Như một số người khác đã chỉ ra, sự ổn định yếu không nhất thiết phải duy trì khi bạn lấy giá trị tuyệt đối của chuỗi thời gian. Lý do cho điều này là việc lấy giá trị tuyệt đối của từng yếu tố của chuỗi thời gian có thể thay đổi giá trị trung bình và phương sai theo cách không đồng nhất, do sự khác biệt trong phân phối cơ bản của các giá trị. Mặc dù tính dừng yếu không chuyển qua theo cách này, nó là giá trị gì mà tính dừng mạnh không vẫn thuộc quyền chuyển đổi tuyệt đối có giá trị.

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn