Cập nhật (2019-06-25): thay đổi tiêu đề từ "Các mô hình MA không thể đảo ngược có ý nghĩa không?" để phân biệt với Câu 333802 .

Trong khi xem xét các mô hình MA ( $q$ ), tôi đã xem qua các slide này (Alonso và Garcia-Martos, 2012). Các tác giả nói rằng, trong khi tất cả các quy trình MA đều đứng yên, nếu chúng không thể đảo ngược, bạn có

" tình huống nghịch lý trong đó ảnh hưởng của các quan sát trong quá khứ tăng theo khoảng cách. "

Điều này có thể được nhìn thấy trong bởi sự phân hủy của các đường MA (1) quá trình:

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ vào $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ trong đó rõ ràng $|\theta|>1$ chuyển thành lịch sử có ảnh hưởng ngày càng nhiều hơn hiện tại. Hai điều về điều này làm phiền tôi:

1. Không khó để tưởng tượng một tình huống có độ trễ một lần trong các tác động của một cái gì đó
2. Đây Chữ thập Validated bài viết có một câu trả lời mà tuyên bố:

" Khả năng đảo ngược không thực sự là vấn đề lớn vì hầu như bất kỳ mô hình MA (q) không thể đảo ngược nào của Gaussian đều có thể được thay đổi thành mô hình MA (q) khả nghịch thể hiện cùng một quy trình "

Có đúng là hiệu ứng của các quan sát trong quá khứ tăng theo khoảng cách? Nếu vậy, điều đó làm cho các mô hình không phù hợp để mô tả các hiện tượng trong thế giới thực?

Cập nhật (2019-11-09) Đã tìm thấy điều này trong văn bản Phân tích chuỗi thời gian và các ứng dụng của nó (Shumway và Stoffer, trang 85) cũng hỗ trợ trường hợp nó không thực sự quan trọng nếu một mô hình MA không thể đảo ngược, nhưng chúng tôi có thể muốn chọn phiên bản không thể đảo ngược của mô hình để thuận tiện.

Không phải là một vấn đề lớn - nó đứng yên và tiếp cận tiếng ồn trắng

$\text{MA}(1)$$\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$$\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

$|\theta|>1$

$|\theta| \rightarrow \infty$$y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$

---

Một lưu ý về phương trình của bạn: Trong phương trình trong câu hỏi của bạn, bạn viết giá trị hiện tại của chuỗi thời gian có thể quan sát được dưới dạng tổng của các giá trị trong quá khứ, cộng với các thuật ngữ lỗi còn sót lại. Điều này được khẳng định cho thấy rằng "hiệu ứng của các quan sát trong quá khứ tăng theo khoảng cách". Tuy nhiên, phương trình liên quan đến một số lượng lớn các điều khoản hủy bỏ. Để thấy điều này, hãy mở rộng các điều khoản có thể quan sát được trong quá khứ để hiển thị việc hủy các điều khoản:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Chúng ta có thể thấy từ bản mở rộng này rằng tổng giá trị tăng dần về mặt hình học của chuỗi thời gian có thể quan sát được chỉ có ở đó để có được thuật ngữ lỗi trước đó:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

$\epsilon_{t-1}$$\epsilon_0$

$y_1,y_2,\dots,y_n$. Như tôi cố gắng giải thích trong bài đăng mà bạn liên kết đến, việc phân phối chung các dữ liệu này hầu như luôn luôn có thể xảy ra (trừ trường hợp đa thức MA có một hoặc nhiều gốc đơn vị) được mô hình hóa giống như được tạo bởi một số không thể đảo ngược Các mô hình MA hoặc bằng một mô hình MA khả nghịch tương ứng. Do đó, chỉ dựa trên dữ liệu, không có cách nào để biết liệu cơ chế cơ bản của "thế giới thực" có tương ứng với cơ chế của một mô hình không thể đảo ngược hoặc không thể đảo ngược. Và các mô hình ARIMA dù sao cũng không nhằm mục đích là các mô hình cơ học của quá trình tạo dữ liệu ở nơi đầu tiên.

$(\infty)$