Có phải hậu thế nhất thiết phải theo cấu trúc phụ thuộc có điều kiện như trước?

Một trong những giả định trong mô hình là sự phụ thuộc có điều kiện giữa các biến ngẫu nhiên trong phân phối chung trước. Xét mô hình sau,

$$p(a,b|X) \propto p(X|a,b)p(a,b)$$

Bây giờ giả sử một giả định độc lập cho .$p(a,b) = p(a)p(b)$

Liệu giả định này có nghĩa là hậu thế cũng có sự phụ thuộc có điều kiện sau đây không?

$$p(a|X)p(b|X) \propto p(X|a,b)p(a)p(b)$$

Câu hỏi của bạn cũng có thể được nêu là: " phụ thuộc vào và . Và và là độc lập. Điều này có nghĩa là và độc lập có điều kiện với không?"$X$$a$$b$$a$$b$$a$$b$$X$

Câu trả lời là không. Chúng ta chỉ cần một ví dụ ngược lại để cho thấy nó không phải là trường hợp. Giả sử .$X = a + b$

Sau đó, khi chúng ta biết giá trị của , và là phụ thuộc (thông tin về cái này cho chúng ta biết cái kia sẽ là gì). Ví dụ: giả sử . Sau đó, nếu , nó cho chúng ta biết rằng . Tương tự, nếu , nó nói .$X$$a$$b$$X=5$$a=3$$b=2$$b=4$$a=1$

Không, không: Theo giả định rằng , phía bên phải của phương trình cuối cùng của bạn là:$a \ \bot \ b$

$$p(x|a,b) \cdot p(a) \cdot p(b) = p(x,a,b) \overset{a,b}{\propto} p(a,b|x).$$

Vì vậy, bạn đang hỏi có hiệu quả hay không:

$$a \ \bot \ b \quad \quad \implies \quad \quad p(a|x) \cdot p(b|x) \propto p(a,b|x).$$

Đó là, bạn đang hỏi liệu độc lập trước của và ngụ ý độc lập sau của các biến ngẫu nhiên này hay không. Nói chung, không, nó không --- nhiều mô hình thống kê liên quan đến dữ liệu cung cấp thông tin về cả hai biến trước đó, theo cách mà chúng thể hiện sự phụ thuộc thống kê một posteriori .$a$$b$$x$