Làm cách nào tôi có thể mô hình hóa tỷ lệ với BUGS / JAGS / STAN?

Tôi đang cố gắng xây dựng một mô hình trong đó phản hồi là một tỷ lệ (thực ra đó là tỷ lệ phiếu bầu mà một đảng nhận được trong các khu vực bầu cử). Phân phối của nó không bình thường, vì vậy tôi quyết định mô hình hóa nó với phân phối beta. Tôi cũng có một vài dự đoán.

Tuy nhiên, tôi không biết cách viết nó bằng BUGS / JAGS / STAN (JAGS sẽ là lựa chọn tốt nhất của tôi, nhưng nó không thực sự quan trọng). Vấn đề của tôi là tôi tạo ra một tổng các tham số bằng các yếu tố dự đoán, nhưng sau đó tôi có thể làm gì với nó?

Mã sẽ giống như thế này (theo cú pháp JAGS), nhưng tôi không biết cách "liên kết" các tham số y_hatvà y.

for (i in 1:n) {
 y[i] ~ dbeta(alpha, beta)

 y_hat[i] <- a + b * x[i]
}

( y_hatchỉ là sản phẩm chéo của các tham số và yếu tố dự đoán, do đó có mối quan hệ xác định. avà blà các hệ số mà tôi cố gắng ước tính, xlà một yếu tố dự báo).

Cảm ơn lời đề nghị của bạn!

Phương pháp hồi quy beta là xác định lại thông số theo và . Trong đó sẽ tương đương với y_hat mà bạn dự đoán. Trong tham số hóa này, bạn sẽ có và . Sau đó, bạn có thể mô hình hóa làm logit của tổ hợp tuyến tính. có thể có trước của chính nó (phải lớn hơn 0) hoặc cũng có thể được mô hình hóa trên các đồng biến (chọn một hàm liên kết để giữ cho nó lớn hơn 0, chẳng hạn như hàm mũ).$\mu$$\phi$$\mu$$\alpha=\mu\times\phi$$\beta=(1-\mu) \times \phi$$\mu$$\phi$

Có thể một cái gì đó như:

for(i in 1:n) {
  y[i] ~ dbeta(alpha[i], beta[i])
  alpha[i] <- mu[i] * phi
  beta[i]  <- (1-mu[i]) * phi
  logit(mu[i]) <- a + b*x[i]
}
phi ~ dgamma(.1,.1)
a ~ dnorm(0,.001)
b ~ dnorm(0,.001)

Greg Snow đã đưa ra một câu trả lời tuyệt vời. Để đầy đủ, đây là tương đương trong cú pháp Stan. Mặc dù Stan có bản phân phối beta mà bạn có thể sử dụng, nhưng việc xử lý logarit của mật độ beta sẽ nhanh hơn vì các hằng số log(y)và log(1-y)có thể được tính một lần ngay từ đầu (thay vì mỗi lần y ~ beta(alpha,beta)sẽ được gọi). Bằng cách tăng lp__biến dự trữ (xem bên dưới), bạn có thể tính tổng logarit của mật độ beta so với các quan sát trong mẫu của bạn. Tôi sử dụng nhãn "gamma" cho vectơ tham số trong bộ dự báo tuyến tính.

data {
  int<lower=1> N;
  int<lower=1> K;
  real<lower=0,upper=1> y[N];
  matrix[N,K] X;
}
transformed data {
  real log_y[N];
  real log_1my[N];
  for (i in 1:N) {
    log_y[i] <- log(y[i]);
    log_1my[i] <- log1m(y[i]);
  }
}
parameters {
  vector[K] gamma;
  real<lower=0> phi;
}
model {
  vector[N] Xgamma;
  real mu;
  real alpha_m1;
  real beta_m1;
  Xgamma <- X * gamma;
  for (i in 1:N) {
    mu <- inv_logit(Xgamma[i]);
    alpha_m1 <- mu * phi - 1.0;
    beta_m1 <- (1.0 - mu) * phi - 1.0;
    lp__ <- lp__ - lbeta(alpha,beta) + alpha_m1 * log_y[i] + 
                                        beta_m1 * log_1my[i];
  }
  // optional priors on gamma and phi here
}