Vấn đề Monty Hall với một Monty Fallable

23

Monty có kiến thức hoàn hảo về việc Cửa có một con dê đằng sau nó (hoặc trống rỗng). Thực tế này cho phép Người chơi nhân đôi tỷ lệ thành công của mình theo thời gian bằng cách chuyển đổi các trò chơi đoán đoán ra các Cửa khác. Điều gì xảy ra nếu kiến thức của Monty kém hoàn hảo? Điều gì sẽ xảy ra nếu đôi khi Giải thưởng thực sự được ở cùng một Cánh cửa với Dê? Nhưng bạn không thể nhìn thấy nó cho đến khi bạn chọn và mở cửa CỦA BẠN? Bạn có thể vui lòng giúp tôi hiểu cách tính IF và bao nhiêu - Người chơi có thể cải thiện thành công của mình khi tỷ lệ chính xác của Monty dưới 100%? Ví dụ: nếu Monty sai - trung bình-50% thời gian thì sao? Người chơi VẪN có thể hưởng lợi từ việc chuyển Guess / Door của mình không? Tôi tưởng tượng rằng nếu Monty có ít hơn 33,3% cơ hội chính xác rằng Giải thưởng KHÔNG đứng sau Cánh cửa, thì lựa chọn tốt nhất là không chuyển đổi lựa chọn Cửa của mình. Bạn có thể vui lòng cung cấp cho tôi cách tính lợi ích tiềm năng của việc chuyển đổi bằng cách chèn các Xác suất khác nhau của Monty là Chính xác về Giải thưởng KHÔNG đứng sau Cánh cửa không? Tôi không có gì ngoài toán học Trung học, và tôi 69 tuổi, vì vậy xin hãy nhẹ nhàng.

Cảm ơn những hiểu biết và công thức được cung cấp. Có vẻ như nếu "Fallible Monty" chỉ chính xác 66% trong việc dự đoán sự vắng mặt của Giải thưởng / Xe hơi thì có lợi ích KHÔNG khi chuyển từ lựa chọn cửa ban đầu của bạn .... vì tỷ lệ lỗi 33% của anh ta là mặc định lãi suất cơ bản cho Giải thưởng nằm sau bất kỳ cánh cửa nào. Tuy nhiên, một giả định cho rằng NẾU Monty trở nên tốt hơn 66% khi dự đoán nơi KHÔNG CÓ GIẢI THƯỞNG chuyển đổi có được Tiện ích lớn hơn. Tôi sẽ cố gắng áp dụng lý do này vào một trò chơi trong đó một "Chuyên gia" đưa ra "dự đoán chuyên gia" rằng một trong ba tùy chọn có thể xảy ra gần như bằng nhau sẽ là lựa chọn chính xác. Tôi có ít niềm tin vào Chuyên gia là chính xác, và tôi khá chắc chắn rằng "tỷ lệ trúng" của anh ta sẽ thấp hơn 33% - giống như 15%. Kết luận của tôi từ đây sẽ là khi "cùng một lựa chọn với tôi, tôi chắc chắn sai, và nên đổi sang một trong hai cái còn lại! ;-)

conditional-probability

— Giả
nguồn

5

Nếu độ chính xác của Monty dưới 100%, điều đó có nghĩa là anh ta đôi khi mở ra cánh cửa với giải thưởng đằng sau nó? Nếu vậy, có lẽ bạn nên chọn cánh cửa đó.

— Fax

35

Hãy bắt đầu với vấn đề Monty Hall thường xuyên. Ba cánh cửa, đằng sau một trong số đó là một chiếc ô tô. Hai người kia có dê đằng sau họ. Bạn chọn cánh cửa số 1 và Monty mở cánh cửa số 2 để cho bạn thấy có một con dê đằng sau cái đó. Bạn có nên chuyển dự đoán của bạn sang cửa số 3? (Lưu ý rằng các số chúng tôi sử dụng để chỉ mỗi cửa không quan trọng ở đây. Chúng tôi có thể chọn bất kỳ thứ tự nào và vấn đề là như nhau, vì vậy để đơn giản hóa mọi thứ chúng tôi chỉ có thể sử dụng cách đánh số này.)

Câu trả lời tất nhiên là có, như bạn đã biết, nhưng hãy xem qua các tính toán để xem chúng thay đổi như thế nào sau này. Gọi là chỉ số của cánh cửa với ô tô và biểu thị sự kiện mà Monty tiết lộ rằng cửa 2 có một con dê. Chúng ta cần tính . Nếu giá trị này lớn hơn , chúng ta cần chuyển dự đoán của mình sang cửa đó (vì chúng ta chỉ có hai tùy chọn còn lại). Xác suất này được đưa ra bởi: (Đây chỉ là áp dụng quy tắc của Bayes với căn hộ trước ) bằng 1: nếu xe đứng sau cửa số 3 thì Monty không còn cách nào khác ngoài mở số cửa 2 như anh đã làm. $C$ $M$ $p(C=3|M)$ $1/2$

p (C = 3 | M) = \frac{p (M | C = 3)}{p (M | C = 1) + p (M | C = 2) + p (M | C = 3)}

$p(C=3|M)=\frac{p(M|C=3)}{p(M|C=1)+p(M|C=2)+p(M|C=3)}$

C

$C$

p (M | C = 3)

$p(M|C=3)$

p (M | C = 1)

$p(M|C=1)$

bằng : nếu xe ở sau cửa 1, thì Monty có lựa chọn mở một trong hai cửa còn lại, 2 hoặc 3. bằng 0, vì Monty không bao giờ mở cửa mà anh ta biết có xe. Điền vào các số này, chúng tôi nhận được: Đây là kết quả mà chúng tôi quen thuộc.

1 / 2

$1/2$

p (M | C = 2)

$p(M|C=2)$

p (C = 3 | M) = \frac{1}{0.5 + 0 + 1} = \frac{2}{3}

$p(C=3|M)=\frac{1}{0.5+0+1}=\frac{2}{3}$

Bây giờ hãy xem xét trường hợp Monty không có kiến thức hoàn hảo về cửa nào có xe. Vì vậy, khi anh ta chọn cửa của mình (mà chúng ta sẽ gọi là cửa số 2), anh ta có thể vô tình chọn cửa có xe, vì anh ta nghĩ rằng nó có một con dê. Đặt là cánh cửa mà Monty nghĩ có chiếc xe và để là xác suất mà anh ta nghĩ rằng chiếc xe đang ở một nơi nhất định, có điều kiện trên vị trí thực tế của nó. Chúng tôi sẽ giả sử rằng điều này được mô tả bởi một tham số xác định độ chính xác của anh ta, sao cho: . Nếu bằng 1, Monty luôn đúng. Nếu $C'$ $p(C'|C)$ $q$ $p(C'=x|C=x) = q = 1-p(C'\neq x|C=x)$ $q$ $q$ là 0, Monty luôn sai (vẫn còn nhiều thông tin). Nếu là , thông tin của Monty không tốt hơn đoán ngẫu nhiên. $q$ $1/3$

Điều này có nghĩa là bây giờ chúng ta có:

p (M | C = 3) = \sum_{x} p (M | C^{'} = x) p (C^{'} = x | C = 3)

$p(M|C=3) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=3)$

= p (M | C^{'} = 1) p (C^{'} = 1 | C = 3) + p (M | C^{'} = 2) p (C^{'} = 2 | C = 3) + p (M | C^{'} = 3) p (C^{'} = 3 | C = 3)

$= p(M|C'=1)p(C'=1|C=3) + p(M|C'=2)p(C'=2|C=3) + p(M|C'=3)p(C'=3|C=3)$

= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} (1 - q) + 0 \times \frac{1}{2} (1 - q) + 1 \times q

$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(1-q) + 0\times \frac{1}{2}(1-q) + 1 \times q$

= \frac{1}{4} - \frac{q}{4} + q = \frac{3}{4} q + \frac{1}{4}

$= \frac{1}{4} - \frac{q}{4} + q = \frac{3}{4}q+\frac{1}{4}$

Đó là, nếu chiếc xe thực sự đứng sau cửa 3, có ba khả năng có thể xảy ra: (1) Monty nghĩ rằng nó đứng sau 1, (2) Monty nghĩ 2 hoặc (3) Monty nghĩ 3. Tùy chọn cuối cùng xảy ra với xác suất (tần suất anh ta hiểu đúng), hai người còn lại chia xác suất để anh ta hiểu sai giữa họ. Sau đó, với mỗi kịch bản, xác suất mà anh ta đã chọn để chỉ vào cửa số 2, như anh ta đã làm là gì? Nếu anh ta nghĩ rằng chiếc xe đứng sau 1, thì xác suất đó là 1 trên 2, vì anh ta có thể đã chọn 2 hoặc 3. Nếu anh ta nghĩ rằng nó đứng sau 2, anh ta sẽ không bao giờ chọn chỉ vào 2. Nếu anh ta nghĩ rằng nó đứng sau 3 , anh sẽ luôn luôn chọn 2. $q$ $(1-q)$

Chúng ta có thể làm việc tương tự với các xác suất còn lại:

p (M | C = 1) = \sum_{x} p (M | C^{'} = x) p (C^{'} = x | C = 1)

$p(M|C=1) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=1)$

= \frac{1}{2} \times q + 1 \times \frac{1}{2} (1 - q)

$=\frac{1}{2}\times q + 1\times \frac{1}{2}(1-q)$

= \frac{q}{2} + \frac{1}{2} - \frac{q}{2} = \frac{1}{2}

$=\frac{q}{2}+\frac{1}{2}-\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$

p (M | C = 2) = \sum_{x} p (M | C^{'} = x) p (C^{'} = x | C = 2)

$p(M|C=2) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=2)$

= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} (1 - q) + 1 \times \frac{1}{2} (1 - q)

$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(1-q) + 1 \times\frac{1}{2}(1-q)$

= \frac{3}{4} - \frac{3}{4} q

$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q$

Điền tất cả vào đây, chúng tôi nhận được: Khi kiểm tra độ tỉnh táo , khi , chúng ta có thể thấy rằng chúng ta lấy lại câu trả lời ban đầu của mình về .

p (C = 3 | M) = \frac{\frac{3}{4} q + \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} q + \frac{3}{4} q + \frac{1}{4}}

$p(C=3|M)=\frac{\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q+\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}$

= \frac{0.75 q + 0.25}{1.5}

$=\frac{0.75q+0.25}{1.5}$

q = 1

$q=1$

\frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}

$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$

Vậy, khi nào chúng ta nên chuyển đổi? Tôi sẽ cho đơn giản rằng chúng tôi không được phép chuyển sang cánh cửa mà Monty đã chỉ. Và trên thực tế, miễn là Monty ít nhất có khả năng đúng (hơn là đoán ngẫu nhiên), cánh cửa mà anh ta chỉ ra sẽ luôn ít có khả năng hơn so với những người khác có xe, vì vậy đây không phải là một lựa chọn khả thi cho chúng tôi nào Vì vậy, chúng ta chỉ cần xem xét xác suất của cửa 1 và 3. Nhưng trong khi trước đây, chiếc xe không thể đứng sau cửa 2, thì tùy chọn này bây giờ có xác suất khác không, và vì vậy chúng ta không nên chuyển đổi khi , nhưng chúng ta nên chuyển đổi khi (đã từng là điều tương tự). Xác suất này được đưa ra bởi $p(C=3|M)>0.5$ $p(C=3|M)>p(C=1|M)$ $p(C=1|M)=\frac{0.5}{1.5}=\frac{1}{3}$ , giống như trong bài toán Monty Hall ban đầu. (Điều này hợp lý vì Monty không bao giờ có thể hướng về cửa 1, bất kể đằng sau nó là gì, và vì vậy anh ta không thể cung cấp thông tin về cánh cửa đó. Thay vào đó, khi độ chính xác của anh ta giảm xuống dưới 100%, thì có khả năng là "rò rỉ" về phía cửa 2 thực sự có xe.) Vì vậy, chúng ta cần tìm $q$ sao cho $p(C=3|M) > \frac{1}{3}$ : Vì vậy, về cơ bản, đây là một khoảng thời gian rất dài - Cách nhanh chóng để tìm ra rằng, miễn là hiểu biết của Monty về vị trí thực sự của chiếc xe tốt hơn so với dự đoán ngẫu nhiên, bạn nên chuyển cửa (điều này thực sự rõ ràng, khi bạn nghĩ về nó). Chúng tôi cũng có thể tính toán khả năng chúng tôi sẽ giành được nhiều hơn bao nhiêu khi chuyển đổi, như là một chức năng chính xác của Monty, vì điều này được đưa ra bởi: (Mà, khi, đưa ra câu trả lời là 2, phù hợp với thực tế là chúng tôi nhân đôi cơ hội chiến thắng bằng cách chuyển cửa trong vấn đề Monty Hall ban đầu.)

\frac{0.75 q + 0.25}{1.5} > \frac{1}{3}

$\frac{0.75q+0.25}{1.5}>\frac{1}{3}$

0.75 q + 0.25 > 0.5

$0.75q+0.25 > 0.5$

0.75 q > 0.25

$0.75q > 0.25$

q > \frac{1}{3}

$q > \frac{1}{3}$

\frac{p (C = 3 | M)}{p (C = 1 | M)}

$\frac{p(C=3|M)}{p(C=1|M)}$

= \frac{\frac{0.75 q + 0.25}{1.5}}{\frac{1}{3}} = 1.5 q + 0.5

$=\frac{\frac{0.75q+0.25}{1.5}}{\frac{1}{3}}=1.5q+0.5$

q = 1

$q=1$

Chỉnh sửa: Mọi người đã hỏi về kịch bản mà chúng tôi được phép chuyển sang cánh cửa mà Monty chỉ đến, điều này trở nên thuận lợi khi , tức là khi Monty là "kẻ nói dối" đáng tin cậy (phần nào). Trong kịch bản cực đoan nhất, khi , điều này có nghĩa là cánh cửa mà Monty nghĩ rằng chiếc xe thực sự chắc chắn có một con dê. Tuy nhiên, lưu ý rằng hai cửa còn lại vẫn có thể có xe hơi hoặc dê. $q<\frac{1}{3}$ $q=0$

Lợi ích của việc chuyển sang cửa 2 được đưa ra bởi: Chỉ lớn hơn 1 (và do đó đáng để chuyển sang cửa đó) nếu , tức là nếu , mà chúng tôi đã được thiết lập là điểm bùng phát. Thật thú vị, lợi ích tối đa có thể có khi chuyển sang cửa 2, khi , chỉ là 1,5, so với việc nhân đôi tỷ lệ thắng của bạn trong bài toán Monty Hall ban đầu (khi ).

\frac{p (C = 2 | M)}{p (C = 1 | M)} = \frac{\frac{0.75 - 0.75 q}{1.5}}{\frac{1}{3}} = 1.5 - 1.5 q

$\frac{p(C=2|M)}{p(C=1|M)} = \frac{ \frac{0.75 - 0.75q}{1.5} } { \frac{1}{3} } = 1.5-1.5q$

1.5 q < 0.5

$1.5q<0.5$

q < \frac{1}{3}

$q<\frac{1}{3}$

q = 0

$q=0$

q = 1

$q=1$

Giải pháp chung được đưa ra bằng cách kết hợp hai chiến lược chuyển đổi này: khi , bạn luôn chuyển sang cửa 3; nếu không, chuyển sang cửa 2. $q>\frac{1}{3}$

— Ruben van Bergen
nguồn

Giá trị kỳ vọng sẽ không thực sự tăng trở lại khi nào q < 1/3, bởi vì nó không mô hình hóa khả năng anh ta chính xác đến mức nào, đó là mô hình hóa khả năng anh ta sai như thế nào? Khi gần đến 0, điều đó có nghĩa là anh ta luôn nói dối nếu có thể, và số tiền thắng dự kiến của bạn sẽ trở về 2/3

— Cireo

2

@Cireo Anh ấy sẽ không nói dối, đơn giản là anh ấy sẽ sai. Nói dối sẽ ngụ ý anh ta biết câu trả lời của mình là sai. Tôi nghi ngờ lý do giá trị mong đợi không tăng trở lại là vì cơ hội anh ta vô tình chỉ vào cánh cửa có chiếc xe phía sau (nghĩa là p (M | C = 2) đang đi lên) và bạn không thể chọn Cánh cửa đó, không có vấn đề gì). q = 0 có nghĩa là anh ta luôn ghi nhớ sai vị trí của chiếc xe, tức là bây giờ có khả năng anh ta chỉ vào cánh cửa có chiếc xe phía sau tương đối cao.

— Buurman

3

Một giải pháp tổng quát hơn (mà điều này rõ ràng cần) bao gồm một Monty "thù địch"; một người thay đổi những gì anh ta chỉ vào (hoặc thậm chí nếu anh ta chỉ vào một cái gì đó) tùy thuộc vào việc bạn chọn một con dê hay một chiếc xe hơi.

— Yakk

3

@Yakk: Có vô số nhiều kịch bản khác mà bạn có thể tưởng tượng rằng thay đổi tỷ lệ cược theo vô số cách. Tất cả cũng phụ thuộc vào việc bạn có biết Monty vận hành như thế nào không. Nếu bạn biết anh ta thù địch, thì thực sự anh ta không thể giảm tỷ lệ cược của bạn xuống dưới 1/3, bởi vì bạn sẽ quyết định bỏ qua bất cứ điều gì anh ta làm. Nếu bạn không biết quá trình quyết định của anh ấy, thì điều đó hoàn toàn phụ thuộc vào những gì bạn làm giả định và những gì anh ấy làm chính xác, và có nhiều mức độ tự do ở đó.

— Ruben van Bergen

1

@KalevMaricq: Tôi đã không thực sự nói về việc nói dối Monty. Vấn đề với điều đó là chiếc xe có thể ở đằng sau cánh cửa bạn chọn ban đầu, mà Monty không được phép chọn (nếu không, tôi sẽ cho rằng đó không còn là vấn đề của Monty Hall). Vì vậy, anh ta chỉ có thể có hai cửa dê mà anh ta có thể chọn, trong trường hợp đó anh ta không thể nói dối bằng cách nói có một con dê đằng sau một trong số họ. Vì vậy, tôi không nghĩ rằng có thể xây dựng một "kẻ nói dối Monty" thực sự trong giới hạn của vấn đề. Thay vào đó, thứ tôi đi cùng (vì ) là một người Monty luôn nhầm cửa dê với cửa xe, nhưng chúng tôi không biết cửa dê nào.

q = 0

$q=0$

— Ruben van Bergen

7

Đây phải là một biến thể khá đơn giản của vấn đề (mặc dù tôi lưu ý nền toán học hạn chế của bạn, vì vậy tôi đoán đó là tương đối). Tôi muốn đề nghị bạn trước tiên cố gắng xác định giải pháp có điều kiện về việc liệu Monte không thể sai được, hay hoàn toàn có thể đọc được. Trường hợp đầu tiên chỉ là vấn đề Monte Hall thông thường, vì vậy không có công việc nào được yêu cầu ở đó. Trong trường hợp thứ hai, bạn sẽ coi cánh cửa anh ta chọn là ngẫu nhiên trên tất cả các cửa, bao gồm cả cánh cửa có giải thưởng (nghĩa là anh ta vẫn có thể chọn một cánh cửa không có giải thưởng, nhưng giờ đây là ngẫu nhiên). Nếu bạn có thể tính xác suất thắng trong mỗi trường hợp này thì bạn sử dụng luật tổng xác suất để xác định xác suất thắng có liên quan trong trường hợp Monte có một số mức độ sai lầm được chỉ định (được xác định bởi một xác suất mà chúng tôi không thể sai so với hoàn toàn có thể đọc được).

— Phục hồi
nguồn

2

Tôi đánh giá cao phản hồi, nhưng tôi đang tìm kiếm một cái gì đó cụ thể hơn. Tôi đang xác định rằng Monty đã chọn một Cửa. Tôi đang xác định rằng xác suất Giải thưởng đứng sau cánh cửa đó có thể ở bất kỳ đâu từ 0 đến 100%. Tôi đã hy vọng một công thức cho phép tôi chỉ cần nhập Xác suất mà Monty đúng / Sai và sau đó thực hiện phần còn lại của công thức sẽ cung cấp Ước tính số cho biết Xác suất chuyển đổi sẽ dẫn đến Win. Là mức độ hỗ trợ là một yêu cầu không thực tế?

— Pseudoego

4

Dựa trên những nhận xét về câu trả lời của Ben, tôi sẽ đưa ra hai cách hiểu khác nhau về biến thể này của Monty Hall, khác với Ruben van Bergen.

Người đầu tiên tôi sẽ gọi Liar Monty và người thứ hai không đáng tin cậy Monty. Trong cả hai phiên bản, sự cố được tiến hành như sau:

(0) Có ba cánh cửa, đằng sau một trong số đó là một chiếc ô tô và đằng sau hai cái còn lại là những con dê, được phân phối ngẫu nhiên.

(1) Thí sinh chọn một cánh cửa ngẫu nhiên.

(2) Monty chọn một cánh cửa khác với cánh cửa của thí sinh và tuyên bố một con dê đứng đằng sau nó.

(3) Thí sinh được đề nghị chuyển sang cánh cửa thứ ba chưa được chỉnh sửa và vấn đề là "Khi nào thì thí sinh nên chuyển đổi để tối đa hóa xác suất tìm thấy một chiếc xe phía sau cánh cửa?"

Ở Liar Monty, ở bước (2), nếu thí sinh đã chọn một cánh cửa có chứa một con dê, thì Monty chọn một cánh cửa chứa chiếc xe với một số xác suất được xác định trước (nghĩa là có khả năng từ 0 đến 100% rằng anh ta sẽ nói dối rằng con dê ở đằng sau cánh cửa nào đó). Lưu ý rằng trong biến thể này, Monty không bao giờ chọn cửa có chứa ô tô (nghĩa là không thể nói dối) nếu thí sinh chọn xe ở bước (1).

$\frac{2}{3}$ $\frac{1}{3}$

Để trả lời vấn đề, chúng ta sẽ phải sử dụng một số phương trình. Tôi sẽ cố gắng và diễn đạt câu trả lời của tôi để nó có thể truy cập được. Hai điều mà tôi hy vọng không quá khó hiểu là thao tác đại số của các biểu tượng và xác suất có điều kiện. Đối với trước đây, chúng tôi sẽ sử dụng các biểu tượng để biểu thị như sau:

\begin{aligned} S & = The car is behind the door the contestant can switch to. \\ \bar{S} & = The car is not behind the door the contestant can switch to. \\ M & = The car is behind the door Monty chose. \\ \bar{M} & = The car is not behind the door Monty chose. \\ C & = The car is behind the door the contestant chose in step (1). \\ \bar{C} & = The car is not behind the door the contestant chose in step (1). \end{aligned}

$\begin{split} S &= \text{The car is behind the door the contestant can switch to.}\\ \bar{S} &= \text{The car is not behind the door the contestant can switch to.}\\ M &= \text{The car is behind the door Monty chose.}\\ \bar{M} &= \text{The car is not behind the door Monty chose.}\\ C &= \text{The car is behind the door the contestant chose in step (1).}\\ \bar{C} &= \text{The car is not behind the door the contestant chose in step (1).} \end{split}$

$\Pr(*)$ $*$ $\Pr(\bar{M})$

Chúng tôi cũng sẽ yêu cầu một số hiểu biết thô sơ về xác suất có điều kiện, gần như là xác suất xảy ra nếu bạn có kiến thức về một sự kiện liên quan khác. Xác suất này sẽ được biểu thị ở đây bằng các biểu thức, chẳng hạn như . Thanh dọccó thể được coi là biểu thức "nếu bạn biết", do đó có thể được đọc là "xác suất mà cửa mà thí sinh có thể chuyển sang có xe, nếu bạn biết rằng xe hơi không ở sau cửa của Monty. Trong bài toán Monty Hall ban đầu, , lớn hơn , tương ứng với trường hợp khi Monty chưa cung cấp cho bạn bất kỳ thông tin nào. $\Pr(S|\bar{M})$ $|$ $\Pr(S|\bar{M})$ $\Pr(S|\bar{M}) = \frac{2}{3}$ $\Pr(S) = \frac{1}{3}$

Bây giờ tôi sẽ chứng minh rằng Monty không đáng tin cậy tương đương với Liar Monty. Trong Liar Monty, chúng tôi được đưa ra số lượng , xác suất mà Monty sẽ nói dối về cánh cửa của mình, biết rằng thí sinh chưa chọn xe. Trong Monty không đáng tin cậy, chúng ta được đưa ra số lượng , xác suất mà Monty nói dối về cánh cửa của mình. Sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện và sắp xếp lại, chúng tôi có được: $\Pr(M|\bar{C})$ $\Pr(M)$ $\Pr(M \text{ and } \bar{C}) = \Pr(\bar{C} | M) \Pr(M) = \Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})$

\begin{aligned} Pr (M) & = \frac{Pr (M | \bar{C}) Pr (\bar{C})}{Pr (\bar{C} | M)} \\ \frac{3}{2} Pr (M) & = Pr (M | \bar{C}), \end{aligned}

$\begin{split} \Pr(M) &= \frac{\Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})}{\Pr(\bar{C} | M)}\\ \frac{3}{2} \Pr(M) &= \Pr(M | \bar{C}), \end{split}$ kể từ , xác suất xe là không đứng sau cánh cửa được chọn của thí sinh là và , xác suất chiếc xe không đứng sau cánh cửa được chọn của thí sinh, nếu chúng ta biết rằng nó ở đằng sau cánh cửa của Monty , là một.

Pr (\bar{C})

$\Pr(\bar{C})$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Pr (\bar{C} | M)

$\Pr(\bar{C} | M)$

Do đó, chúng tôi đã chỉ ra mối liên hệ giữa Monty không đáng tin cậy (được đại diện bởi LHS của phương trình trên) và Liar Monty (đại diện bởi RHS). Trong trường hợp cực đoan của Monty không đáng tin cậy, nơi Monty chọn một cánh cửa che giấu chiếc xe , điều này tương đương với việc Monty nằm suốt thời gian ở Liar Monty, nếu ban đầu thí sinh đã chọn một con dê . $\frac{2}{3}$

Đã cho thấy điều này, bây giờ tôi sẽ cung cấp đủ thông tin để trả lời phiên bản Liar của Vấn đề Monty Hall. Chúng tôi muốn tính toán . Sử dụng luật tổng xác suất : $\Pr(S)$

\begin{aligned} Pr (S) & = Pr (S | C) Pr (C) + Pr (S | \bar{C} and M) Pr (\bar{C} and M) + Pr (S | \bar{C} and \bar{M}) Pr (\bar{C} and \bar{M}) \\ = Pr (\bar{C} and \bar{M}) \end{aligned}

$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(S|C)\Pr(C) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M)\Pr(\bar{C} \text{ and } M) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M})\Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M}) \end{split}$ kể từ và (thuyết phục bản thân về điều này!).

Pr (S | C) = Pr (S | \bar{C} and M) = 0

$\Pr(S|C) = \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M) = 0$

Pr (S | \bar{C} and \bar{M}) = 1

$\Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M}) = 1$

Tiếp tục:

\begin{aligned} Pr (S) & = Pr (\bar{C} and \bar{M}) \\ = Pr (\bar{M} | \bar{C}) Pr (\bar{C}) \\ = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} Pr (M | \bar{C})) \end{aligned}

$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{M} | \bar{C}) \Pr(\bar{C}) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})) \end{split}$

Vì vậy, bạn thấy, khi Monty luôn nói dối (còn gọi là ) thì bạn không có cơ hội chiến thắng nếu bạn luôn chuyển đổi và nếu anh ta không bao giờ nói dối thì xác suất chiếc xe đứng sau cánh cửa bạn có thể chuyển sang, , là . $\Pr(M | \bar{C})) = 1$ $\Pr(S)$ $\frac{2}{3}$

Từ đó, bạn có thể tìm ra các chiến lược tối ưu cho cả Kẻ nói dối và Monty không đáng tin cậy.

Phụ lục 1

Đáp lại bình luận (nhấn mạnh của tôi):

"Tôi đã thêm chi tiết trong nhận xét của mình vào @alex - Monty không bao giờ thù địch cũng không quanh co, chỉ là FALLIBLE, vì đôi khi anh ta có thể sai vì bất kỳ lý do gì và thực sự không bao giờ mở cửa. Nghiên cứu cho thấy Monty đã sai khoảng 33,3% Thời gian và chiếc xe thực sự đã xuất hiện ở đó. Đó là Xác suất sau khi đúng 66,6%, đúng không? Monty không bao giờ chọn cửa CỦA BẠN, và bạn sẽ không bao giờ chọn xe của mình . Những giả định này có thay đổi gì không? "

Theo như tôi hiểu, Vấn đề Monty Hall không đáng tin cậy được giới thiệu khi bắt đầu câu trả lời của tôi.

Do đó, nếu cửa của Monty chứa xe , chúng tôi có xác suất chiến thắng khi bạn chuyển sang cửa chưa được chọn cuối cùng là: $\frac{1}{3}$

\begin{aligned} Pr (S) & = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} Pr (M | \bar{C}) \\ = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} Pr (M) \\ = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \\ = \frac{1}{3} \end{aligned}

$\begin{split} \Pr(S) &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})\\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\Pr(M) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{split}$

Do đó, không có sự khác biệt giữa chuyển đổi, còn lại với cửa ban đầu hoặc nếu được phép, chuyển sang cửa được chọn của Monty (phù hợp với trực giác của bạn.)

— Alex
nguồn

Alex và @Ruben van Bergen et al Cảm ơn những chi tiết hữu ích. Giả sử Monty không bao giờ thù địch, chỉ dễ sai lầm và nói với bạn "Tôi chắc chắn rằng Xe KHÔNG ở đằng sau cánh cửa này." nhưng không mở cửa. Giả sử nghiên cứu cho thấy anh ấy chỉ SAU khoảng 33,3% thời gian, do đó, chính xác là 66,6% (Xác suất sau này?). Vẫn có một số lợi ích khi chuyển đổi, nhưng một khi độ chính xác của anh ta chỉ đạt 33,3% thì sẽ không có ý nghĩa gì khi chuyển sang cửa NGÀI hoặc cửa kia. Nghĩa đen là một trường hợp "dự đoán của bạn tốt như của tôi." Có bất kỳ điều này thay đổi Phân tích hoặc Công thức của bạn?

— Pseudoego

Không, điều này không thay đổi phân tích của tôi. Tôi đã thêm một cái gì đó mà tôi hy vọng làm rõ câu hỏi trong bình luận của bạn. Btw, tôi sẽ không đọc quá nhiều vào các từ "thù địch", "ngụy biện", "dối trá". Chúng không thực sự có ý nghĩa gì trừ khi được xác định chính xác là xác suất (có điều kiện) rằng Monty sai về một cánh cửa có chứa một con dê.

— Alex

Khá khó chịu khi câu trả lời RIÊNG của tôi cho câu hỏi RIÊNG của tôi sẽ bị xóa với lời giải thích duy nhất được đưa ra là trang web này không dành cho "thảo luận" - khi tôi chủ yếu giải thích lý do tại sao tôi nghĩ rằng Câu trả lời được đưa ra cho đến nay là Chính xác và giải thích cách họ sẽ có ích Đã có nhiều thảo luận hơn trong hầu hết các câu trả lời khác được đưa ra. Điều này có vẻ như cận thị đối với tôi - tốt nhất - và tệ nhất - tệ nhất - để xóa câu trả lời của ai đó cho câu hỏi của riêng họ: làm thế nào bạn có thể giải thích TẠI SAO bạn đánh giá Câu trả lời là TỐT NHẤT mà không cần thảo luận? Cảm ơn tất cả những người trả lời bất kể.

— Pseudoego

@Pseudoego bình luận cuối cùng của bạn là bài viết tốt hơn như là một bình luận về câu hỏi ban đầu của bạn. Tôi không thấy câu trả lời của bạn, nhưng có vẻ như bạn muốn thảo luận về các câu trả lời hiện có, trong trường hợp đó bạn có thể sửa đổi câu hỏi ban đầu của mình.

— Alex

0

Vì một số lý do, một người điều hành đã quyết định xóa câu trả lời của riêng tôi cho câu hỏi của riêng tôi, với lý do nó chứa "thảo luận". Tôi thực sự không thấy CÁCH tôi có thể giải thích thế nào là Câu trả lời hay nhất mà không thảo luận về những gì làm cho nó hoạt động với tôi và làm thế nào nó có thể được áp dụng trong thực tế.

Tôi đánh giá cao những hiểu biết và công thức đã được cung cấp trong các câu trả lời trước. Dường như NẾU "Fallible Monty" chỉ chính xác 66% trong việc dự đoán sự vắng mặt của Giải thưởng / Xe THÌ có lợi ích KHÔNG khi chuyển từ lựa chọn cửa ban đầu của bạn .... vì tỷ lệ lỗi 33% của anh ta là mặc định lãi suất cơ bản cho Giải thưởng nằm sau bất kỳ cánh cửa nào. Tuy nhiên, một giả định rằng NẾU Monty trở nên tốt hơn 66% khi dự đoán nơi KHÔNG CÓ GIẢI THƯỞNG chuyển đổi có được Tiện ích lớn hơn.

— Giả
nguồn