Độc lập về ý nghĩa và phương sai của phân phối thống nhất rời rạc

Trong các bình luận bên dưới một bài đăng của tôi , Glen_b và tôi đã thảo luận về cách phân phối rời rạc nhất thiết phải có ý nghĩa và phương sai phụ thuộc.

Đối với một phân phối bình thường, nó có ý nghĩa. Nếu tôi nói với bạn $\bar{x}$ , bạn có không phải là một đầu mối những gì $s^2$ là, và nếu tôi nói với bạn $s^2$ , bạn có không phải là một đầu mối những gì $\bar{x}$ là. (Được chỉnh sửa để giải quyết các thống kê mẫu, không phải các tham số dân số.)

Nhưng sau đó đối với phân phối thống nhất rời rạc, không áp dụng logic tương tự? Nếu tôi ước tính trung tâm của các điểm cuối, tôi không biết thang đo và nếu tôi ước tính tỷ lệ, tôi sẽ không biết trung tâm.

Điều gì đang xảy ra với suy nghĩ của tôi?

BIÊN TẬP

Tôi đã làm mô phỏng của jbowman. Sau đó, tôi đánh nó với biến đổi tích phân xác suất (tôi nghĩ) để kiểm tra mối quan hệ mà không có bất kỳ ảnh hưởng nào từ các phân phối biên (cách ly copula).

Data.mean <- Data.var <- rep(NA,20000)
for (i in 1:20000){     
    Data <- sample(seq(1,10,1),100,replace=T)
    Data.mean[i] <- mean(Data)
    Data.var[i] <- var(Data)    
}
par(mfrow=c(2,1))
plot(Data.mean,Data.var,main="Observations")
plot(ecdf(Data.mean)(Data.mean),ecdf(Data.var)(Data.var),main="'Copula'")

Trong hình ảnh nhỏ xuất hiện trong RStudio, cốt truyện thứ hai trông giống như nó có độ bao phủ đồng nhất trên hình vuông đơn vị, vì vậy tính độc lập. Khi phóng to, có các dải dọc khác biệt. Tôi nghĩ rằng điều này có liên quan đến sự bất mãn và tôi không nên đọc nó. Sau đó tôi đã thử nó để phân phối thống nhất liên tục vào $(0,10)$ .

Data.mean <- Data.var <- rep(NA,20000)
for (i in 1:20000){

    Data <- runif(100,0,10)
    Data.mean[i] <- mean(Data)
    Data.var[i] <- var(Data)

}
par(mfrow=c(2,1))
plot(Data.mean,Data.var)
plot(ecdf(Data.mean)(Data.mean),ecdf(Data.var)(Data.var))

Điều này thực sự trông giống như nó có các điểm được phân phối đồng đều trên ô vuông đơn vị, vì vậy tôi vẫn nghi ngờ rằng $\bar{x}$ và $s^2$ là độc lập.

Câu trả lời của jbowman (+1) kể phần lớn câu chuyện. Đây là một chút nữa.

(a) Đối với dữ liệu từ phân phối thống nhất liên tục , giá trị trung bình mẫu và SD không tương quan, nhưng không độc lập. 'Đề cương' của cốt truyện nhấn mạnh sự phụ thuộc. Trong số các phân phối liên tục, độc lập chỉ giữ cho bình thường.

set.seed(1234)
m = 10^5; n = 5
x = runif(m*n);  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT)
s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=".")

$a$$s$$P(\bar X = a) > 0,\, P(S = s) > 0,$$P(\bar X = a, X = s) = 0.$

set.seed(2019)
m = 20000;  n = 5;  x = sample(1:5, m*n, rep=T)
DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT)
s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=20)

(c) Phân phối chuẩn tròn không bình thường. Sự bất mãn gây ra sự phụ thuộc.

set.seed(1776)
m = 10^5; n = 5
x = round(rnorm(m*n, 10, 1));  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT);  s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=20)

$\mathsf{Beta}(.1,.1),$$\mathsf{Beta}(1,1) \equiv \mathsf{Unif}(0,1).$

set.seed(1066)
m = 10^5; n = 5
x = rbeta(m*n, .1, .1);  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT);  s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=".")

Phụ lục mỗi bình luận.

Nó không phải là giá trị trung bình và phương sai phụ thuộc trong trường hợp phân phối rời rạc, đó là những mẫu trung bình và phương sai phụ thuộc được các thông số của phân phối. Giá trị trung bình và phương sai là các hàm cố định của các tham số của phân phối và các khái niệm như "tính độc lập" không áp dụng cho chúng. Do đó, bạn đang hỏi những câu hỏi giả định sai của bản thân.

$(\bar{x}, s^2)$$(1, 2, \dots, 10)$

$s^2$$\bar{x}$

Tất nhiên, một ví dụ không thể chứng minh phỏng đoán của Glen trong bài đăng mà bạn liên kết với rằng không có phân phối rời rạc nào tồn tại với các phương tiện và phương sai mẫu độc lập!