Ai đó có thể giải thích cho tôi các tham số của một phân phối logic?

Tôi đang đọc và đây là định nghĩa tôi có được từ cuốn sách của DeGroot:

Điều đó có nghĩa là các tham số là như nhau? Ví dụ: giả sử X được phân phối lognormally và Y thường được phân phối trong đó Y = log (X). Có phải điều này nói rằng X và Y có cùng giá trị trung bình và SD mặc dù chúng là các bản phân phối có hình dạng khác nhau? Nếu không, phân phối μ và là gì?

Nói cách khác, nếu ai đó nói X được phân phối một cách hợp lý với trung bình μ và SD, tôi có cần thực hiện bất kỳ chuyển đổi nào để giá trị trung bình và SD theo thuật ngữ bình thường không?

giả sử X được phân phối lognormally và Y thường được phân phối trong đó Y = log (X)

Đây là nơi bạn bối rối. Bạn không đưa ra giả định về hai bản phân phối, một trong số đó chỉ là nhật ký của bản phân phối kia.

Thay vào đó, bạn bắt đầu với một phân phối . Sau đó, bạn xem xét . Nếu , sau đó chúng ta nói rằng sự phân bố ban đầu là loga chuẩn với các thông số và .$X$$\log X$$\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$X μ σ 2$X$$\mu$$\sigma^2$

(Và sau đó, giá trị trung bình của là , vì vậy, các tham số chắc chắn không giống nhau. Đây cũng là lý do tốt hơn để nói về "các tham số" của một thông thường, thay vì "trung bình và SD" - bởi vì rất dễ bị nhầm lẫn cho dù các tham chiếu này có nghĩa là trung bình thực hay trung bình của nhật ký, giống với SD.)$X$$\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$

Wikipedia có một bài viết hay về phân phối log-normal: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-n normal_distribution . Bài báo tiết lộ rằng X phân phối thông thường và nhật ký phân phối thông thường (X) có các phương tiện và độ lệch chuẩn khác nhau.

Nếu X tuân theo phân phối log-bình thường với các thông số $\mu$ và $\sigma$ , sau đó $\mu$ và $\sigma$ đại diện cho độ lệch trung bình và tiêu chuẩn của sự phân bố của log (X), đó là bình thường. Nói cách khác, độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn của nhật ký phân phối thông thường (X) là:

Nghĩa của $\log(X)=\mu$

SD của $\log(X) = \sigma$

Độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn của X được phân phối thông thường như sau:

Có nghĩa là X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD của X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$