Có phải độ lệch tuyệt đối trung bình nhỏ hơn độ lệch chuẩn cho không?

Tôi muốn so sánh độ lệch tuyệt đối trung bình với độ lệch chuẩn trong trường hợp chung với định nghĩa này:

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

trong đó . $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

Có đúng là cho mọi không? $MAD \le SD$ $\{x_i\}^n_1$

Đó là sai với , becouse , với mọi . $n=2$ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ $x, y \ge 0$

Thật dễ dàng để chỉ ra rằng:

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
nguồn

Câu trả lời:

Không, nói chung điều này không đúng.

Một cách đơn giản để xem xét điều này là mô phỏng. Tôi thường hack cùng nhau một vòng lặp vô hạn dừng lại nếu nó tìm thấy một ví dụ mẫu. Nếu nó chạy trong một thời gian dài, tôi bắt đầu suy nghĩ về việc liệu yêu cầu này có thể là sự thật hay không. Trong trường hợp hiện tại, mã R của tôi trông như thế này:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

Nó mang lại ví dụ này:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— Stephan Kolass
nguồn

Đó là một cách thông minh để sử dụng mô phỏng! Cứu tôi khỏi trả lời sai rằng kết quả luôn giữ do bất bình đẳng của Jensen ... điều này dường như không thể áp dụng khi bạn chia cho thay vì

n - 1

$n-1$

n

$n$

— CloseToC

Tuy nhiên tôi nghĩ có lẽ một câu trả lời so sánh với độ lệch trung bình với mẫu số , tôi nghĩ, sẽ hữu ích, bởi vì nó sẽ đưa ra bối cảnh cho ví dụ mẫu.

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

Đây là một cách tiếp cận toán học hơn. Đầu tiên, có thể đúng là bằng cách thay đổi các biến, người ta có thể cho rằng giá trị trung bình bằng không. Chắc chắn từ quan điểm tìm kiếm một ví dụ phản biện, điều này có thể chấp nhận được. Vì vậy, đặt , bình phương cả hai mặt của bất đẳng thức được đề xuất và nhân với (n-1) một bên trái với bất đẳng thức được đề xuất - $\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

Cái này có vẻ tanh. (n-1) không đủ để bù cho tất cảđiều kiện . Đặc biệt nếu tất cả các đều giống nhau về giá trị tuyệt đối. Dự đoán đầu tiên của tôi là n = 4 và . Điều này dẫn đến . Tôi sẽ nghĩ rằng loại điều này được biết đến với những người quan tâm đến sự bất bình đẳng. $|x_i| |x_j|$ $x_i$ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

— ồ
nguồn

Đối với tất cả bạn có thể sử dụng cấu trúc của mình (mọi ) và do đó có thể không đúng khi cho tất cả .

n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

— Sextus Empiricus

Đối với tất cả lẻ, bạn có thể sử dụng cấu trúc của tôi ( , và sau đó mọi khác có dấu cộng xen kẽ). Sau đó, bạn có trong đó bất đẳng thức có thể được làm rõ bằng cách nhân với và bình phương sao cho nó trở thành

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sextus Empiricus

Nhưng sự thật là không phải là tất cả các có thể . Các điều khoản(có trong số đó) có thể được tạo thành bởi thuật ngữ khi số lượng đủ nhỏ.

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

— Sextus Empiricus

@Martijn Tất cả những gì tôi đã nói là làm một số đại số nhỏ chỉ đường cho việc tìm kiếm các ví dụ phản tác dụng. Tôi không bao giờ nghĩ rằng, và tôi không nghĩ rằng tôi thậm chí đã cho ấn tượng mà tôi nghĩ, rằng sự bất bình đẳng luôn luôn là sai hoặc đúng.

— meh

Nhận xét "(n-1) không đủ để bù đắp cho ..." nghe có vẻ hơi khó đối với tôi. Trong một số trường hợp nó có thể là đủ.

— Sextus Empiricus