Phân phối Posterior cho hồi quy tuyến tính Bayes

Tôi đã nghiên cứu sử dụng hồi quy tuyến tính Bayes, nhưng tôi đã đi đến một ví dụ mà tôi bối rối.

Đưa ra mô hình:

$${\bf y} = {\bf \beta}{\bf X} + \bf{\epsilon}$$

Giả sử rằng và ,p ( β , φ ) α ${\bf \epsilon} \sim N(0, \phi I)$$p(\beta, \phi) \propto \frac{1}{\phi}$

Làm thế nào để đạt được ?$p(\beta|\phi, {\bf y})$

Trong đó: .$p(\beta|\phi, {\bf y}) \sim N({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1}{\bf X}^{\text{T}}{\bf y}, \phi ({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1})$

Công thức cuối cùng của bạn thiếu dấu ngoặc đơn bên trái.

Đây là một vấn đề tiêu chuẩn không đòi hỏi phải làm việc khó khăn. Trang wikipedia về hồi quy Bayes giải quyết một vấn đề khó khăn hơn; bạn sẽ có thể sử dụng cùng một mẹo (về cơ bản chỉ là một hình thức hoàn thành hình vuông, vì bạn muốn nó theo cho một số và ), với ít điều khoản để lo lắng hơn. Đó là, bạn có được một cái gì đó như thế này:m $(\beta - m)' V^{-1} (\beta - m)$$m$$V$

$$\begin{align}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)&= (\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})(\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta}) + \mathbf{S} \end{align}$$

Ở đâu

$$\begin{align}\mathbf{S} = (\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})\end{align}$$

theo số mũ.

Xem thêm các tài liệu tham khảo tại bài viết wikipedia.

Nếu đây là cho một số chủ đề, xin vui lòng đánh dấu nó là bài tập về nhà.