Phân phối với tích lũy thứ

Có bất kỳ thông tin nào về phân phối mà tích lũy thứ $n$ được đưa ra bởi $\frac 1 n$ ? Hàm tạo tích lũy có dạng

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ Tôi đã chạy qua nó như là sự phân phối giới hạn của một số biến ngẫu nhiên nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ thông tin nào về nó.

distributions mgf cumulants

— chàng
nguồn

Tôi không thể nhìn thấy rằng chức năng này

κ (t)

$\kappa(t)$ bạn đã đưa ra có tính chất khẳng định! Bạn nên xem lại công việc của yoiur. Xấp xỉ theo cấp số nhân n tích phân gần bằng 0 với

1 + t x

$1+tx$ , tích phân gần bằng 0 trở thành

t / x

$t/x$ , do đó là phân kỳ. Vì vậy, tích phân không thể biểu diễn một hàm tạo tích lũy.

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen không chắc tôi làm theo. Xấp xỉ

e^{t x}

$e^{tx}$ với

1 + t x

$1 + tx$ cho

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$ cho tích phân. Ngoài ra, theonàychức năng tôi đã có thể thiếu được biết về cosin hyperbol và tích phân sin. Để chứng minh rằng

κ (t)

$\kappa(t)$ có tính chất khẳng định chỉ làm một Taylor loạt đầy đủ xung quanh

0

$0$ cho

e^{t x}

$e^{tx}$ và đẩy không tách rời qua để tổng hợp để có được những chuỗi Taylor cho

κ (t)

$\kappa(t)$ xung quanh

0

$0$ .

— anh chàng

sympy nói rằng tích phân là phân kỳ (theo cách lập dị của chính nó!). Nhưng sympy phải sai, tôi thấy nó bây giờ, đã thử nghiệm với một số tích hợp số, và nó hoạt động tốt. Sẽ thử lại lần nữa.

— kjetil b halvorsen

Nhìn vào Wolphram alpha kết quả, nó không thể là đúng hoặc là, nó có của một tổ chức phi không có giới hạn khi t phương pháp tiếp cận bằng không, trong khi

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$ rõ ràng.

— kjetil b halvorsen

Tôi tin rằng nó là hoàn toàn liên tục trên

. Nó được nhận ra như là một giới hạn của các biến ngẫu nhiên Poisson; như

một hợp chất Poisson với tốc độ

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

và phân phối nhảy mật độ

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

hội tụ yếu vào phân phối này.

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— anh chàng

Biết các giá trị của các tích lũy cho phép chúng ta có được một ý tưởng về cách biểu đồ phân phối xác suất này sẽ như thế nào. Giá trị trung bình và phương sai của phân phối là

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

trong khi độ lệch và hệ số kurtosis dư thừa của nó là

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

Vì vậy, đây có thể là một biểu đồ tìm kiếm quen thuộc của một biến ngẫu nhiên dương thể hiện độ lệch dương. Đối với việc tìm phân phối xác suất, cách tiếp cận của thợ thủ công có thể là chỉ định phân phối xác suất rời rạc chung, lấy các giá trị trong , với xác suất tương ứng $\{0,1,...,m\}$ , sau đó sử dụng các tích lũy để tính toán các khoảnh khắc thô, với mục đích hình thành một hệ phương trình tuyến tính với xác suất là ẩn số. Tích lũy có liên quan đến các khoảnh khắc thô bởi giải quyết lần đầu tiên năm khoảnh khắc thô này mang lại (giá trị số ở cuối là cụ thể cho các tích lũy trong trường hợp của chúng tôi) $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$ Nếu chúng ta (trong giây lát) đặt chúng ta có hệ phương trình

m = 5

$m=5$

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Tất nhiên chúng tôi không muốn bằng . Nhưng tăng dần (và đạt được giá trị của những khoảnh khắc tiếp theo), cuối cùng chúng ta sẽ đạt đến điểm mà giải pháp cho xác suất ổn định. Cách tiếp cận như vậy không thể được thực hiện bằng tay - nhưng tôi không có quyền truy cập phần mềm, cũng như các kỹ năng lập trình cần thiết để thực hiện một nhiệm vụ như vậy. $m$ $5$ $m$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Điều này thật tuyệt Có lẽ tôi cũng có thể thực hiện một số loại mở rộng Edgeworth? Trên thực tế, tôi có một ý tưởng về mật độ trông như thế nào (giả sử nó tồn tại) vì tôi có thể mô phỏng trực tiếp từ nó. Điều này rất lạ - nó trông đồng nhất trong một phạm vi và sau đó nó phân rã với một cái gì đó giống như một cái đuôi theo cấp số nhân (đã lâu rồi tôi mới thực hiện mô phỏng).

(0, a)

$(0, a)$

(a, \infty)

$(a, \infty)$

— anh chàng

Cảm ơn. Tất nhiên bạn luôn có thể thực hiện việc mở rộng Edgworth dựa trên các tích lũy, nhưng tôi tự hỏi nó sẽ hoạt động tốt như thế nào, với hình dạng kỳ lạ mà bạn mô tả. Sẽ rất thú vị khi đối chiếu hai. Bạn có thể cho tôi biết giá trị của không?

a

$a$

— Alecos Papadopoulos

Tìm mã cũ của tôi và tìm thấy . Nếu thì là gần đúng và xấp xỉ gamma được phân phối với hình và có nghĩa là .

a \approx 1

$a \approx 1$

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$

1.4

$1.4$

0.64

$0.64$

— anh chàng

Bạn có ý nghĩa gì với ?

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$

— Alecos Papadopoulos

Vậy pdf trông như thế nào? Đối với việc phù hợp theo từng khoảnh khắc, sự phù hợp là 'mạnh mẽ' và 'ổn định' khi người ta tăng số lượng khoảnh khắc được sử dụng (4, 5, 6, 7 hoặc 8, v.v.), hay là ở khắp mọi nơi?

— sói