Giới hạn trên cho mật độ copula?

Giới hạn trên của Hoéffding Hoeffding áp dụng cho chức năng phân phối copula và nó được đưa ra bởi

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Có một sự tương tự (theo nghĩa là nó phụ thuộc vào mật độ biên) giới hạn trên của mật độ copula $c(u_1,...,u_d)$ thay vì CDF?

Bất kỳ tài liệu tham khảo sẽ được đánh giá rất cao.

— Coppola
nguồn

Bạn đang tìm kiếm loại ràng buộc nào? Một mô tả về vấn đề thực tế của bạn có thể giúp đỡ. Về mặt kỹ thuật, câu trả lời là "không" theo hai cách khác nhau: (i) có thể không có mật độ (!) Và (b) nếu có, chúng ta có thể thay đổi nó trên một tập hợp số 0 để lớn bằng chúng ta ' d thích. Chúng tôi biết một số điều , mặc dù. Cụ thể, giả sử tồn tại và đặt là bất kỳ hình chữ nhật (hyper) nào có độ dài cạnh . Sau đó, chắc chắn

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— Đức Hồng Y

Vì bạn có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ thỏa mãn ràng buộc này, tôi nghi ngờ không có quá nhiều điều có thể nói. Nhưng, tôi đã không nghĩ về điều đó một cách cẩn thận.

— Đức hồng y

@cardinal Cảm ơn bạn đã góp ý. Thật vậy, tôi giả định rằng mật độ tồn tại để tránh trường hợp tầm thường. Tôi đang tìm kiếm một giới hạn trên về mật độ biên. Tôi đặc biệt quan tâm đến copula Gaussian.

— Coppola

Nếu đó là một copula, tất cả các mật độ biên là đồng nhất, nghĩa là một hàm không đổi. :)

— Đức hồng y

@cardinal Xin lỗi tiếng Pháp của tôi. Hãy để tôi nói lại câu hỏi của tôi. Copula Gaussian (mà tôi đặc biệt quan tâm) được đưa ra bởi

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$ . Trong đó

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$ và

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$ . Chẳng hạn, điều này không thể bị giới hạn bởi sản phẩm

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$ . Vì vậy, tôi đã tìm kiếm một giới hạn trên chỉ liên quan đến các lề. Và, tất nhiên, tôi đã cố gắng đặt câu hỏi một cách tổng quát hơn, liên quan đến nó với các giới hạn đã nói ở trên. Xin lỗi vì những lời mơ hồ của tôi.

— Coppola

Nói chung, không có. Ví dụ, trong trường hợp copula gaussian bivariate, đại lượng trong số mũ có điểm yên ở (0,0), và do đó phát nổ đến vô cùng theo hai hướng. Nếu bạn bắt gặp một lớp mật độ copula thực tế bị giới hạn, xin vui lòng cho tôi biết!

— MHankin
nguồn

Bạn có thể làm rõ những gì bạn có nghĩa là "số lượng trong số mũ"? Sự hiện diện của "điểm yên ngựa" dường như không phù hợp với bất kỳ định nghĩa tiêu chuẩn nào về phân phối Gaussian.

— whuber

@whuber Mật độ của một copula gaussian không phải là một gaussian tiêu chuẩn. Nếu bạn nhìn vào nhận xét của coppola ở trên, bạn sẽ nhận thấy mật độ copula gaussian có sẽ mong đợi ma trận hiệp phương sai nghịch đảo. Ma trận hiệp phương sai nghịch đảo phải là bán xác định dương đối xứng, nhưng -I cho phép không xác định không dương, và do đó, một điểm yên ngựa. Sự hiện diện của nó là do sự thay đổi của các biến khi chuyển đổi từ thành

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Vâng, tôi biết điều đó - nhưng đó không phải là câu trả lời của bạn. Copula này được tham số hóa bởi ma trận tương quan , nhưng với bất kỳ nào như vậy thì đó chỉ là một hàm của . Như vậy nó không bao giờ "nổ tung đến vô tận". Không có ma trận tương quan hợp lệ (nghĩa là các ma trận không suy biến) mà copula này không bị ràng buộc. Đó là những lý do tôi yêu cầu làm rõ câu trả lời của bạn.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Tôi vừa gửi email cho bạn một phiên bản có thể chỉnh sửa của một bài viết sâu hơn về ví dụ của tôi. Hãy cho tôi biết nếu bạn nghĩ nó có vẻ chính xác, trong trường hợp đó tôi sẽ thêm nó vào câu trả lời của tôi ở trên. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin