có điều kiện trên tổng số, phân phối nhị thức âm là gì

Nếu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là iid tiêu cực nhị thức, sau đó phân phối là những gì $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ cho

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$?

$N$ là cố định.

Nếu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là Poisson thì, có điều kiện trên tổng, $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ là đa thức. Tôi không chắc liệu nó có đúng với nhị thức âm hay không, vì nó là hỗn hợp Poisson.

Trong trường hợp bạn muốn biết, đây không phải là một vấn đề bài tập về nhà.

Xin lỗi vì câu trả lời muộn, nhưng điều này cũng làm tôi khó chịu và tôi đã tìm thấy câu trả lời. Phân phối thực sự là Dirichlet-Multinomial và neg neg. phân phối nhị thức thậm chí không cần phải giống hệt nhau, miễn là yếu tố Fano của chúng (tỷ lệ phương sai so với trung bình) là giống hệt nhau.

Câu trả lời dài:

Nếu bạn tham số NB là:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

Sau đó và và$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ ngụ ý

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

Sau đó lấy xác suất đưa ra tổng:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

Trong đó là khả năng Dirichlet-Multinomial. Kết quả này đơn giản xuất phát từ thực tế là ngoại trừ các hệ số đa thức, rất nhiều thuật ngữ trong phân số ở phía bên trái bị hủy bỏ, chỉ còn lại bạn với các thuật ngữ hàm gamma giống như trong khả năng DM.$DM$

Cũng lưu ý rằng các tham số của mô hình này không thể xác định được khi tăng với việc giảm đồng thời tất cả các kết quả cùng khả năng.$\theta$$\lambda_i$

Tài liệu tham khảo tốt nhất tôi có cho phần này là các phần 2 đến 3.1 của Guimarães & Lindrooth (2007): Kiểm soát sự quá mức trong các mô hình logit có điều kiện được nhóm lại: Một ứng dụng đơn giản về tính toán của hồi quy đa biến Dirichlet - nhưng không may tìm một tài liệu tham khảo không phải trả tiền.