Ước tính cho một tỷ lệ mới mắc

Trong khi trải qua một khóa học thống kê cho sinh viên y khoa, tôi đã gặp phải một vấn đề liên quan đến tỷ lệ mắc bệnh. Bối cảnh của vấn đề là một chương về phân phối Poisson. Trong vấn đề này, 2300 người hút thuốc được theo dõi trong khoảng thời gian 1 năm, trong đó 24 người trong số họ bị ung thư phổi. Sau đó, họ muốn tính tỷ lệ mới mắc của quy trình và tiến hành như sau:

Lúc đầu, tôi không hiểu tại sao họ lại trừ , nhưng tôi cho rằng đó là một sự điều chỉnh vì thực tế là vì 24 người đó bị ung thư trong năm, thời gian của họ có nguy cơ ngắn hơn so với những người không phát triển bệnh tật. Không có thêm thông tin đã được đưa ra trong chính sách giáo khoa, ít nhất là không phải trong vấn đề. Một tìm kiếm nhanh đã xác nhận rằng tôi đang suy nghĩ theo đúng dòng.$24/2$

Nhưng tôi vẫn không hiểu lý do căn bản của công thức. Ai đó có thể khai sáng cho tôi? Ngoài ra, nếu một số tài liệu tham khảo có thể truy cập cho sinh viên y khoa có thể được cung cấp. Tôi không ngại có nhiều tài liệu tham khảo công nghệ là tốt.

Tôi đề xuất mô hình hóa sự xuất hiện ung thư như là một quá trình Poisson. Nhiều sự kiện (xuất hiện khối u) có thể trong cùng một cá nhân trong khoảng thời gian quan sát. Nếu là tỷ lệ xuất hiện khối u theo năm, xác suất 0 sự kiện là và xác suất của 1 sự kiện trở lên là .e - λ p = 1 - e - $\lambda$$e^{-\lambda}$$p=1-e^{-\lambda}$

Bạn theo dõi cá nhân trong một năm. Số lượng cá nhân có 1 sự kiện trở lên là . Số dự kiến ​​là .X ∼ B i n ( n , p ) E ( X ) = n p = n ( 1 - e - λ$n$$X \sim \mathrm{Bin}(n,p)$$E(X) = np = n(1-e^{-\lambda})$

Bây giờ bạn quan sát sự kiện và muốn ước tính . Ước tính đầu tiên , sau đó . Bằng cách bất biến các công cụ ước tính khả năng tối đa, là MLE của .λ p = $x$$\lambda$ λ =-log(1-$\hat p = {x\over n}$ bước sóng$\hat \lambda = - \log\left(1 - {x \over n}\right) \approx {x\over n} + {x^2 \over 2 n^2}$$\hat \lambda$$\lambda$

Công cụ ước tính của bạn là . Sự khác biệt giữa hai công cụ ước tính là khoảng , rất nhỏ nếu nhỏ. Tôi đoán điều này cung cấp một số biện minh, ngay cả khi một số mô hình khác có thể có thể dẫn trực tiếp đến công cụ ước tính của bạn. x3/6n3x/${ x/n \over 1 - x/2n} \approx {x\over n} + {x^2 \over 2 n^2}$$x^3/6n^3$$x/n$

Giả sử chẩn đoán ung thư được trải đều trong năm, những người được chẩn đoán có nguy cơ được chẩn đoán (trung bình) nửa năm trước chẩn đoán đó.

Liên kết của bạn đề cập đến giả định về sự xuất hiện ở điểm nửa đường trong giai đoạn quan sát nhưng không xuất phát từ đâu - đó chỉ là giả định về tính đồng nhất. Giả định này không phải lúc nào cũng hợp lý và đôi khi nó có thể tạo ra sự khác biệt đáng kể. Tôi khuyên bạn nên biết về giả định mỗi khi bạn sử dụng công thức, bởi vì bạn nên xem xét sự phù hợp của nó và nếu nó không phù hợp, liệu nó có thể có tác động đáng kể đến ước tính (trong trường hợp đó, một giả định tốt hơn về sự xuất hiện cần được điều tra)