Hiệp phương sai biến ngẫu nhiên

Tôi có hai biến ngẫu nhiên $X > 0$ và $Y > 0$ .

Cho rằng tôi có thể ước tính

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$ làm thế nào tôi có thể ước tính

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— người dùng7064
nguồn

Câu hỏi trước đây hỏi về tương quan thay vì hiệp phương sai, nhưng nó có liên quan: stats.stackexchange.com/questions/35941/ Kẻ

— Douglas Zare

Người ta có thể thực hiện phương pháp mở rộng Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_Exansions_for_the_moments_of_fiances_of_random_variables

Biên tập:

Lấy , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Sử dụng khai triển Taylor đa biến để tính xấp xỉ (theo cách tương tự với ví dụ ở cuối "Khoảnh khắc đầu tiên" trong liên kết thực hiện trường hợp đơn giản hơn của và sử dụng mở rộng đơn biến để tính các xấp xỉ cho và (như được đưa ra trong phần đầu tiên của cùng một phần) với độ chính xác tương tự. Từ những điều đó, tính hiệp phương sai (gần đúng). $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Mở rộng ra mức độ gần đúng tương tự như ví dụ trong liên kết, tôi nghĩ rằng bạn kết thúc với các thuật ngữ về giá trị trung bình và phương sai của từng biến (chưa được dịch) và hiệp phương sai của chúng.

Chỉnh sửa 2:

Nhưng đây là một mẹo nhỏ có thể tiết kiệm một số nỗ lực:

Lưu ý rằng và và . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Với ta có

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Chỉnh sửa: Đó là bước cuối cùng sau từ Taylor xấp xỉ , đó là tốt cho nhỏ (có tính $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ ). $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(xấp xỉ đó là chính xác cho , bình thường: $U$ $V$ ) $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Đặt $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

và đưa ra , sau đó $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Biên tập:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Do đó . Điều này phải chính xác chogaussianbivariate. $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Nếu bạn đã sử dụng xấp xỉ đầu tiên chứ không phải thứ hai, bạn sẽ nhận được một xấp xỉ khác ở đây.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Bạn có thể cho biết thêm một chút chi tiết xin vui lòng? Dù sao, thx cho đề xuất

— user7064

Chỉnh sửa để biết chi tiết.

— Glen_b -Reinstate Monica

Cảm ơn @Glend_b. Tôi sẽ chấp nhận khi chi tiết sẽ được thêm vào. Trong khi đó, +1 :-)

— user7064

Đừng lo lắng; Lúc đó tôi đang bận, rồi hoàn toàn quên mất. Bây giờ đã sửa

— Glen_b -Reinstate Monica

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$ là nhỏ).

— Glen_b -Reinstate Monica

$X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— Cầm đồ
nguồn