Bayesian trung bình b gậy trước

Tôi muốn hỏi một câu hỏi lấy cảm hứng từ một câu trả lời xuất sắc cho truy vấn về trực giác cho bản phân phối beta. Tôi muốn có được một sự hiểu biết tốt hơn về sự phát sinh cho phân phối trước cho mức trung bình. Có vẻ như David đang sao lưu các tham số từ giá trị trung bình và phạm vi.

Theo giả định rằng giá trị trung bình là $0.27$ và độ lệch chuẩn là , bạn có thể sao lưu và bằng cách giải hai phương trình này: alpha beta $0.18$$\alpha$$\beta$

$$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$$

Thông báo rằng:

$$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$$

Điều này có nghĩa là phương sai có thể được biểu thị dưới dạng trung bình như

$$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$$

Nếu bạn muốn giá trị trung bình là $.27$ và độ lệch chuẩn là $.18$ (phương sai $.0324$ ), chỉ cần tính toán:

$$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$$

Bây giờ bạn biết tổng, $\alpha$ và $\beta$ là dễ dàng:

$$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$$

Bạn có thể kiểm tra câu trả lời này trong R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

I wanted to add this as a comment on the excellent answer but it ran long and will look better with answer formatting.

Something to keep in mind is that not all $(\mu, \sigma^2)$ are possible. It's clear $\mu \in [0,1]$, but not as clear are the limitations for $\sigma^2$.

Using the same reasoning as David, we can express

$$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$$

This is decreasing with respect to $\alpha$, so the largest $\sigma^2$ can be for a given $\mu$ is:

$$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$$

This is only a supremum since the set of valid $\alpha$ is open (i.e., for Beta, we must have $\alpha > 0$); this limit is itself maximized at $\mu = \frac12$.

Notice the relationship to a corresponding Bernoulli RV. The Beta distribution with mean $\mu$, since it is forced to take all values between 0 and 1, must be less dispersed (i.e., have lower variance) than the Bernoulli RV with the same mean (which has all of its mass at the ends of the interval). In fact, sending $\alpha$ to 0 and fixing $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$ amounts to putting more and more of the mass of the PDF close to 0 and 1, i.e., getting closer to a Bernoulli distribution, which is why the supremum of the variance is exactly the corresponding Bernoulli variance.

Taken together, here is the set of valid means and variances for Beta:

(Indeed this is noted on the Wikipedia page for Beta)