Mật độ robot đi bộ ngẫu nhiên trong một đồ thị hình học ngẫu nhiên vô hạn

Hãy xem xét một đồ thị hình học ngẫu nhiên vô hạn trong đó các vị trí nút theo quy trình điểm Poisson với mật độ và các cạnh được đặt giữa các nút gần hơn . Do đó, độ dài của các cạnh theo PDF sau: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

Trong biểu đồ trên, hãy xem xét các nút bên trong vòng tròn bán kính tập trung tại điểm gốc. Giả sử, tại thời điểm , chúng tôi đặt một robot nhỏ bên trong mỗi nút được đề cập. Đó là, mật độ của các robot trên máy bay được đưa ra bởi: $r$ $t=0$

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$ trong đó là khoảng cách từ gốc. Hình dưới đây cho thấy một ví dụ về vị trí ban đầu của robot.

l

$l$

thí dụ

Ở mỗi bước, các robot đi đến một trong những người hàng xóm một cách ngẫu nhiên.

Bây giờ, câu hỏi của tôi là: hàm mật độ của các robot tại gì? Có thể tính được hàm mật độ khi không? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

Xin lỗi các bạn, tôi không có nghĩa là một nhà toán học. Xin vui lòng cho tôi biết nếu bất cứ điều gì là không rõ ràng.

— Heli
nguồn

Tra cứu sách của Wolfgang Woess là biên tập viên hoặc tác giả. Một bộ sưu tập gần đây: Đi bộ ngẫu nhiên, ranh giới và quang phổ. Birkhauser, 2011. Từ năm 2000 (Cambridge Univ.Press): Ngẫu nhiên đi trên các biểu đồ và nhóm vô hạn.

— Deer Hunter

Cảm ơn Hunter. Tôi đã xem nhanh cuốn sách năm 2011 của anh ấy nhưng tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì liên quan. Tôi không có quyền truy cập vào 2000 ngay bây giờ nhưng tôi sẽ tìm kiếm nó một khi tôi tìm thấy nó. Xin vui lòng cho tôi biết nếu bạn nhớ bất cứ điều gì cụ thể hơn từ những cuốn sách.

— Helium

Đây là một khởi đầu.

Đặt là bán kính của quả bóng bạn đang xem xét. $r = d/2$

Đầu tiên, đọc lên trên các chuyến đi ngẫu nhiên: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . Giả sử bạn chỉ có một robot và giả sử bước đi ngẫu nhiên của bạn nằm trên một mạng hai chiều. Đối với nhỏ , điều này dễ dàng tính toán với phép nhân ma trận. Bạn biết rằng chỉ có điểm có thể có trong mạng mà bạn có thể bước lên hoặc hạ cánh sau bước. Đặt là ma trận kề của các đỉnh này . Đặt là vectơ của tất cả s ngoại trừ ở vị trí thứ . Giả sử rằng hàng đầu tiên (và cột) của $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ tương ứng với nguồn gốc. Sau đó, xác suất bạn ở đỉnh sau bước là (trong đó số nguyên tố có nghĩa là hoán vị và là nâng lên sức mạnh thứ ). Tôi khá chắc chắn rằng bạn sẽ có thể giải quyết điều này một cách rõ ràng. Bạn có thể sử dụng thực tế là mọi thứ có cùng khoảng cách từ gốc trong định mức phải có cùng mật độ. $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

Sau khi khởi động, hãy chuyển sang câu hỏi ban đầu của bạn. Sau bước, bạn chỉ cần xem xét đồ thị hữu hạn nằm trong bán kính bóng xung quanh gốc (mọi nơi khác có xác suất có thể truy cập được chỉ sau $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ các bước). Cố gắng tạo ma trận kề của đồ thị đó và làm việc với nó giống như trường hợp mạng - Tôi không biết làm thế nào, nhưng tôi đoán có một lý thuyết Markov ngoài kia để giúp bạn giải quyết. Một điều bạn có thể lợi dụng chúng tôi là bạn biết phân phối này phải đối xứng xung quanh gốc, đặc biệt mật độ chỉ là một hàm của khoảng cách từ gốc. Điều này sẽ làm cho mọi thứ dễ dàng hơn, vì vậy tất cả những gì bạn cần xem xét là xác suất bạn có khoảng cách từ gốc sau các bước . Khi bạn giải quyết được vấn đề này, hãy gọi mật độ của bạn tại vị trí sau khi bước . Lưu ý rằng sẽ là một hàm của $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ . Đặt là biến ngẫu nhiên được lấy mẫu từ phân phối này. $X$

Bây giờ bạn cũng cần xem xét bắt đầu với nhiều robot. Giả sử rằng nhiều robot được phép ở cùng một đỉnh, điều này không làm cho nó khó hơn nhiều so với trường hợp một robot. Các robot có thể bắt đầu thống nhất trên vòng tròn, gọi biến ngẫu nhiên được lấy mẫu thống nhất trên vòng tròn . Sẽ có một số lượng robot Poisson mà bạn bắt đầu, hãy để là một biến ngẫu nhiên được lấy mẫu từ bản phân phối Poisson này. Vì vậy, mật độ bạn nhận được từ nhiều robot chỉ là . $U$ $M$ $MU + X$

Tôi nghĩ rằng đây là một sự khởi đầu hợp lý cho giải pháp ngoại trừ việc tôi không xác định đầy đủ sự phân bố của . Chúc may mắn, và câu hỏi gọn gàng. $X$

— người dùng1448319
nguồn

Bạn có thể làm rõ cách bạn có được tổng số vị trí có thể bị chiếm sau khi bước trên một mạng thông thường không? Ví dụ: cắm vào , và không đưa ra câu trả lời hợp lý. Câu trả lời của bạn không nên là ?

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

— Đức Hồng Y

oh, bắt tốt nó không được coi là , nó được coi là . là gốc tọa độ, là các trục, là 4 mảng tam giác. ví dụ: với , và và 3 hướng còn lại, và và bốn góc phần tư còn lại.

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

— dùng1448319

Làm thế nào bạn sẽ ở sau hai bước? (Có lẽ tôi không hiểu về cách đi bộ mà bạn đang mô tả. Nếu tôi nghĩ về việc đi bộ ngẫu nhiên "thông thường" trên , tức là, đồng phục theo bốn hướng chính, trừ khi tôi nhầm, câu trả lời trong nhận xét đầu tiên của tôi phải chính xác.)

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

— hồng y

Bạn không thể kết thúc vào sau hai bước bắt đầu từ . Nhưng bạn CÓ THỂ đi bộ qua sau khi thực hiện hai bước. Bạn PHẢI xem xét tất cả các điểm có thể truy cập trong vòng 2 bước để tạo như mô tả ở trên.

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

— dùng1448319

Điều đó đúng, nhưng tôi đã lấy câu có nghĩa như đã nói: Bạn biết chỉ có địa điểm có thể bạn có thể hạ cánh trên mạng sau bước. $n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$ :-) Có lẽ một chỉnh sửa sẽ giúp làm rõ. Chúc mừng.

— Đức Hồng Y