Sự khác biệt của các biến ngẫu nhiên Gamma

Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập và , phân phối của sự khác biệt là gì, tức là ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Nếu kết quả không được nhiều người biết đến, tôi sẽ làm thế nào để lấy kết quả?

distributions gamma-distribution

— FBC
nguồn

Tôi nghĩ có thể có liên quan: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Thật không may, không liên quan, bài đăng đó xem xét tổng trọng số của các biến ngẫu nhiên Gamma trong đó các trọng số hoàn toàn dương. Trong trường hợp của tôi, các trọng số sẽ lần lượt là +1 và -1.

— FBC

Bài báo Moschopoulos tuyên bố rằng phương pháp này có thể được mở rộng thành các tổ hợp tuyến tính, nhưng bạn đã đúng rằng việc thay đổi kích thước dường như bị giới hạn ở các trọng số lớn hơn 0. Tôi đã sửa.

— Dimitriy V. Masterov

Có rất ít hy vọng để có được bất cứ điều gì đơn giản hoặc ở dạng kín trừ khi hai yếu tố tỷ lệ là như nhau.

— whuber

Chỉ là một nhận xét nhỏ: đối với trường hợp đặc biệt của rvs phân bố theo cấp số nhân với cùng tham số, kết quả là Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Tôi sẽ phác thảo cách giải quyết vấn đề và nêu những gì tôi nghĩ rằng kết quả cuối cùng sẽ dành cho trường hợp đặc biệt khi các tham số hình dạng là số nguyên, nhưng không điền vào chi tiết.

Đầu tiên, lưu ý rằng nhận các giá trị trong và vì vậy có hỗ trợ . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Thứ hai, từ các kết quả tiêu chuẩn, mật độ của tổng hai biến ngẫu nhiên liên tục độc lập là tích chập mật độ của chúng, nghĩa là, và mật độ của biến ngẫu nhiên là , suy ra rằng
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Thứ ba, đối với các biến ngẫu nhiên không âm và , lưu ý rằng biểu thức trên đơn giản hóa thành $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Cuối cùng, sử dụng parametrization để chỉ một biến ngẫu nhiên có mật độ và với các biến ngẫu nhiên và , chúng ta có mà Tương tự, với , $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

Các tích phân này không dễ đánh giá nhưng đối với trường hợp đặc biệt , Gradshteyn và Ryzhik, Bảng tích phân, Sê-ri và Sản phẩm, Mục 3.383, liệt kê giá trị của về các hàm đa thức, hàm mũ và hàm B của và điều này có thể được sử dụng để viết ra các biểu thức rõ ràng cho . $s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

Từ đây trở đi, chúng ta giả sử và là các số nguyên $s$ $t$ sao cho là một đa thức tính theo và của độ và là một đa thức tính bằng và độ . $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

Đối với , tích phân là tổng tích phân Gamma liên quan đến với hệ số . Theo sau, mật độ của tỷ lệ thuận với mật độ hỗn hợp gồm các biến ngẫu nhiên cho . Lưu ý rằng kết quả này sẽ giữ ngay cả khi không phải là số nguyên. $z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
Tương tự như vậy, đối với , mật độ tỷ lệ với một hỗn hợp mật độ biến ngẫu nhiên lộn hơn , nghĩa là, nó sẽ có các thuật ngữ như thay vì thông thường . Ngoài ra, kết quả này sẽ giữ ngay cả khi không phải là số nguyên. $z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
nguồn

+1: Đã xem xét vấn đề này trước đây, tôi thấy câu trả lời này rất hấp dẫn.

— Neil G

Tôi sẽ chấp nhận câu trả lời này mặc dù dường như không có giải pháp dạng đóng. Nó gần như nó được, cảm ơn!

— FBC

Tôi thích lý do ở đây, nhưng tôi tự hỏi liệu có biện pháp nào mà bước thứ hai phá vỡ không, tức là, ?

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

— mpacer

@mpacer Không, luôn giữ. Đó là một kết quả chung không yêu cầu bất kỳ giả định nào (tính quy tắc, Gamma-eity, RV dương, v.v.). Đối với trường hợp đặc biệt của biến ngẫu nhiên dương (nghĩa là ), là biến ngẫu nhiên âm nhận các giá trị nhỏ hơn với xác suất .

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

— Dilip Sarwate

@mpacer Nếu là biến ngẫu nhiên dương có mật độ , thì không đúng khi không được xác định cho . Trong thực tế, được định nghĩa là có giá trị cho . Do đó, với tất cả các số dương và mật độ của là mật độ của "lật" so với gốc (hoặc trục dọc nếu bạn thích) tôi không phải là "giải thích" này.

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$ điều hành khác nhau, nó là bạn ai là người đòi hỏi một "phù hợp" khái niệm mà sẽ ủng hộ ý tưởng của bạn mà lĩnh vực là chỉ

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

— Dilip Sarwate

Theo hiểu biết của tôi, sự phân phối sự khác biệt của hai gamma rv độc lập đã được Mathai nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1993. Ông đã đưa ra một giải pháp dạng kín. Tôi sẽ không tái tạo công việc của mình ở đây. Thay vào đó tôi sẽ chỉ cho bạn nguồn gốc. Giải pháp dạng đóng có thể được tìm thấy ở trang 241 như định lý 2.1 trong bài viết của ông Về Laplacianness tổng quát phi trung tâm của các dạng bậc hai trong các biến thông thường .

— Crock
nguồn