Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân

13

Đối với một biến ngẫu nhiên $X\sim \text{Exp}(\lambda)$ ( $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$ ) Tôi cảm thấy bằng trực giác rằng $\mathbb{E}[X|X > x]$ phải bằngvì thuộc tính không nhớ, phân phối củagiống với củanhưng đượcsang phải bởi. $x + \mathbb{E}[X]$ $X|X > x$ $X$ $x$

Tuy nhiên, tôi đang vật lộn để sử dụng tài sản không có bộ nhớ để đưa ra một bằng chứng cụ thể. Bất kỳ sự giúp đỡ nào cũng được đánh giá cao.

Cảm ơn.

random-variable exponential conditional-expectation

— mchen
nguồn

Gợi ý:

là biểu thức toán học tương ứng với "dịch sang phải bởi

", và do đó

f_{X | X > a} (x) = f_{X} (x - a)

$f_{X|X > a}(x) = f_X(x-a)$

a

$a$

Bây giờ thực hiện thay đổi các biến trên tích phân bên phải.

E [X | X > một] = = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X | X > một} (x) d x = = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x - một) d x .

$E[X\mid X>a] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X\mid X>a}(x)\,\mathrm dx= \int_{-\infty}^\infty xf_X(x-a)\,\mathrm dx.$

— Dilip Sarwate

2

Lưu ý rằng

là phân phối bị cắt ngắn được cắt bớt bên dưới "

". Đặc biệt, nó được thay đổi phân phối theo cấp số nhân và dịch chuyển theo cấp số nhân không có thuộc tính bộ nhớ .

X | X > x

$X|X>x$

x

$x$

— AD

13

$\ldots$ bởi tài sản không nhớ sự phân bố của $X|X > x$ giống như của $X$ nhưng được sang phải bởi $x$ .

Hãy $f_X(t)$ biểu thị hàm mật độ xác suất (pdf) của $X$ . Sau đó, công thức toán học cho những gì bạn nêu chính xác $-$ cụ thể là pdf có điều kiện của $X$ cho rằng $\{X > x\}$ giống như của $X$ nhưng được sang phải bởi $x$ $-$ là $f_{X \mid X > x}(t) = f_X(t-x)$ . Do đó, $E[X\mid X > x]$ ,giá trị mong đợicủa $X$ cho rằng $\{X > x\}$ là

\begin{aligned} E [X ∣ X > x] & = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X ∣ X > x} (t) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X} (t - x) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (x + u) f_{X} (u) d u & on substituting u = t - x \\ = x + E [X] . \end{aligned}

$\begin{align} E[X\mid X > x] &= \int_{-\infty}^\infty t f_{X \mid X > x}(t)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty t f_X(t-x)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty (x+u) f_X(u)\,\mathrm du &\scriptstyle{\text{on substituting}~u = t-x}\\ &= x + E[X]. \end{align}$ Lưu ý rằng chúng tôi chưa sử dụng rõ ràng mật độ

X

$X$ trong phép tính và thậm chí không cần tích hợprõ ràngnếu chúng tôi chỉ cần nhớ rằng (i) diện tích trong pdf là

1

$1$ và (ii) định nghĩa về giá trị mong đợi của a biến ngẫu nhiên liên tục về mặt pdf của nó.

— Dilip Sarwate
nguồn

9

Với , sự kiện có xác suất . Do đó, $x>0$ $\{X>x\}$ $P\{X>x\}=1-F_X(x)=e^{-\lambda x} > 0$

E [X ∣ X > x] = \frac{E [X I_{{X > x}}]}{P {X > x}},

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}} \E[X\mid X> x] = \frac{\E[X\,I_{\{X>x\}}]}{P\{X>x\}} \, ,$

E [X I_{{X > x}}] = \int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = (*)

$\E[X\,I_{\{X>x\}}] = \int_x^\infty t\,\lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = (*)$

(*) = - λ \int_{x}^{\infty} \frac{d}{d λ} (e^{- λ t}) d t = - λ \frac{d}{d λ} \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t

$(*) = -\lambda \int_x^\infty \frac{d}{d\lambda}(e^{-\lambda t}) \,dt = -\lambda \frac{d}{d\lambda} \int_x^\infty e^{-\lambda t} \,dt$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} \int_{x}^{\infty} λ e^{- λ t} d t) = - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} (1 - F_{X} (x)))

$= -\lambda \frac{d}{d\lambda} \left(\frac{1}{\lambda} \int_x^\infty \lambda\,e^{-\lambda t} \,dt\right) = -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\left(1 - F_X(x)\right)\right)$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{e^{- λ x}}{λ}) = (\frac{1}{λ} + x) e^{- λ x},

$= -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right) = \left(\frac{1}{\lambda}+x\right)e^{-\lambda x} \, ,$

E [X ∣ X > x] = \frac{1}{λ} + x = E [X] + x .

$\E[X\mid X>x] = \frac{1}{\lambda}+x = \E[X] + x \, .$

— thiền học
nguồn

2

Mặc dù việc sử dụng mánh khóe của Feynman rất thú vị, tại sao không chỉ tích hợp bởi các bộ phận để có được

\int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = = - t e^{- λ t} |_{x}^{\infty} + \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t = = (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x} ?

$\int_x^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = -t e^{-\lambda t}\biggr |_x^\infty + \int_x^\infty e^{-\lambda t}\,dt = \left(x + \frac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda x}?$

— Dilip Sarwate