Định lý giới hạn trung tâm và định luật số lượng lớn

Tôi có một câu hỏi của người mới bắt đầu về Định lý giới hạn trung tâm (CLT):

Tôi biết rằng CLT nói rằng giá trị trung bình của các biến ngẫu nhiên iid được phân phối xấp xỉ bình thường (đối với , trong đó là chỉ số của các triệu hồi) hoặc biến ngẫu nhiên được tiêu chuẩn hóa sẽ có phân phối chuẩn chuẩn. $n \to \infty$ $n$

Bây giờ Luật số lớn nói đại khái rằng giá trị trung bình của các biến ngẫu nhiên iid hội tụ (theo xác suất hoặc gần như chắc chắn) với giá trị mong đợi của chúng.

Điều tôi không hiểu là: Nếu, như CLT tuyên bố, giá trị trung bình được phân phối bình thường, làm thế nào nó cũng có thể hội tụ đến giá trị mong đợi cùng một lúc?

Sự hội tụ sẽ ám chỉ với tôi rằng theo thời gian xác suất trung bình lấy một giá trị không phải là giá trị mong đợi gần như bằng 0, do đó phân phối sẽ không thực sự là bình thường mà gần như bằng không ở mọi nơi trừ giá trị mong đợi.

Bất kỳ lời giải thích đều được chào đón.

— Chốt
nguồn

Chìa khóa cho câu trả lời nằm ở chỗ từ "chuẩn hóa" xuất hiện trong câu hỏi của bạn.

— whuber

Tôi xin lỗi nhưng tôi không chắc là tôi hiểu.

— Pegah

Gợi ý: một định lý là về có phương sai , khác về có phương sai .

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

Định lý giới hạn trung tâm là về hành trình và Luật mạnh về số lượng lớn là về đích.

— Đức hồng y

Hình này cho thấy các phân phối của các phương tiện của (màu xanh), (màu đỏ) và (vàng) phân phối bình thường và phân phối bình thường ( iid ) (của phương sai đơn vị và trung bình ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Ba tệp PDF chồng chéo

Khi tăng, phân phối của giá trị trung bình trở nên "tập trung" hơn vào . (Ý nghĩa của "tập trung" dễ dàng được định lượng: với bất kỳ khoảng mở cố định nào xung quanh , lượng phân phối trong tăng theo và có giá trị giới hạn là ) $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

Tuy nhiên, khi chúng tôi tiêu chuẩn hóa các phân phối này, chúng tôi sẽ bán lại từng phân phối có giá trị trung bình bằng và phương sai đơn vị: tất cả chúng đều giống nhau. Đây là cách chúng ta thấy rằng mặc dù các tệp PDF của phương tiện đang tăng dần lên và tập trung xung quanh , tuy nhiên mỗi một trong những bản phân phối này vẫn có hình dạng Bình thường , mặc dù chúng khác nhau. $0$ $\mu$

Định lý giới hạn trung tâm nói rằng khi bạn bắt đầu với bất kỳ phân phối nào - không chỉ là phân phối bình thường - có phương sai hữu hạn và chơi cùng một trò chơi với các giá trị iid khi tăng, bạn sẽ thấy điều tương tự: trung bình phân phối tập trung xung quanh giá trị trung bình ban đầu (Định luật yếu về số lượng lớn), nhưng phân phối trung bình chuẩn hóa hội tụ thành phân phối chuẩn thông thường (Định lý giới hạn trung tâm). $n$ $n$

— whuber
nguồn

@whuber câu trả lời khá hay, tôi sẽ đánh giá cao một số lời giải thích về những gì chúng ta hiểu theo Luật yếu về số lượng lớn.

— Subhash C. Davar

@subhash Xem en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber