Vector tính toán trong thống kê


10

Tôi đang dạy một lớp về tích hợp các chức năng của một số biến và phép tính véc tơ trong học kỳ này. Các lớp học được tạo thành hầu hết các chuyên ngành kinh tế và chuyên ngành kỹ thuật, với một ít người học toán và vật lý là tốt. Tôi đã dạy lớp này vào học kỳ trước, và tôi thấy rằng rất nhiều chuyên ngành kinh tế đã khá chán trong nửa sau. Tôi đã có thể thúc đẩy nhiều tích phân bằng cách thực hiện một số tính toán với các biến ngẫu nhiên được phân phối chung, nhưng đối với phần phân tích vectơ của khóa học, động lực duy nhất tôi có thể nghĩ đến là dựa trên vật lý.

Vì vậy, tôi tự hỏi liệu có ai biết một cách giải thích thống kê / xác suất của bất kỳ định lý chính nào của phép tính véc tơ: Định lý Green, định lý Stokes và định lý phân kỳ. Một phần của vấn đề là các trường vectơ dường như không xuất hiện rất thường xuyên trong lý thuyết xác suất, chứ đừng nói đến phân kỳ, độ dốc hoặc độ cong. Tôi cũng đã đăng câu hỏi này trên math.stackexchange vài ngày trước, nhưng tôi vẫn đang tìm kiếm thêm ý tưởng.


Tôi có một MA trong econ và tôi không bao giờ nhớ rằng cần phân kỳ hoặc cuộn tròn (hoặc các định lý bạn đã liệt kê). Nếu có các ứng dụng (có lẽ là DSGE), nó sẽ ở cấp độ Tiến sĩ. Tuy nhiên, độ dốc được sử dụng trong tối ưu hóa, điều này rất quan trọng đối với kinh tế và quản lý danh mục đầu tư.
Giăng

5
Các trường vectơ thực sự xuất hiện một cách cơ bản trong câu trả lời tại stats.stackexchange.com/questions/29121/ , cho thấy rằng chúng có thể mọc lên ở những nơi không ngờ tới. Hơn nữa, chủ đề bình luận sau câu trả lời đó cho thấy (ít nhất là với tôi) rằng một nhà thống kê rất có uy tín sẽ đánh giá cao lý thuyết này tốt hơn nếu anh ta được đào tạo và thực hành nhiều hơn về phương pháp hình học và phân tích.
whuber

Rất khó để có được ngay cả các nhà vật lý quan tâm đến các định lý và bằng chứng của họ, ngay cả với định lý Stokes, rất quan trọng trong vật lý. Tôi không có hồi ức về bằng chứng nào cả! Nhưng tôi nhớ làm thế nào để sử dụng nó. Vì vậy, tôi sẽ không lo lắng quá nhiều về việc làm cho nó thú vị, về cơ bản là không thể.
Aksakal

Câu trả lời:


3

Một ví dụ bạn có thể xem xét là khả năng gần đúng. Cuộc thảo luận về những điều này trong McCullagh & Nelder: Các mô hình tuyến tính tổng quát sử dụng (cho phần lý thuyết) độ dốc và tích phân đường dẫn một cách thiết yếu! Xem chapeter 9 của cuốn sách đó.


3

Tôi nghi ngờ nhiều nhà thống kê sẽ phải sử dụng phép tính véc tơ vì nó được dạy cho vật lý và kỹ thuật . Nhưng đối với những gì đáng giá ở đây là một vài chủ đề sẽ sử dụng nó, ít nhất là tiếp tuyến. Chủ đề cơ bản ở đây là các hàm biến hình từ phân tích phức tạp, bao gồm các hàm điều hòa, được liên kết mật thiết thông qua các phương trình Cauchy Riemann với các định lý của Stokes và Green. Các chức năng này có thể được nghiên cứu cả bằng cách kiểm tra phần bên trong miền của chúng cùng với ranh giới của chúng.

Dòng tiền xác suất. Đây không chỉ là cơ học lượng tử. Nói chung, sự khuếch tán xác suất phát sinh khi nghiên cứu phân phối xác suất thay đổi theo thời gian mà thay đổi suôn sẻ. Điều này bao gồm phiên bản ngẫu nhiên của các hệ thống cổ điển, như phương trình nhiệt, Navier Stokes cho động lực học chất lỏng, phương trình sóng cho cơ học lượng tử, v.v. Ví dụ về các phương trình bao gồm phương trình Fokker-Planckphương trình Kolmogorov Backwards / Forwards liên quan đến các phân kỳ. đến các phương trình nhiệt, tích phân Feynan-Kac, các bài toán dirichlet và các hàm của Green. Các từ khóa ở đây là các hàm điều hòa phức tạp, thỏa mãn tính chất giá trị trung bình, đến lượt nó là hệ quả của định lý tích phân của Green và định lý Stokes. Một ví dụ cổ điển là tính toán thời gian thoát của khuếch tán từ một vùng kín, điều này làm giảm việc đánh giá các tích phân trên ranh giới của bề mặt và khai thác sự hài hòa trong khu vực.

Ví dụ chính ở đây là các vấn đề liên quan đến chuyển động Brown, và nói chung là lớp học rộng của Ito Diffusions . Một cuốn sách tuyệt vời (và lập dị!) Về điều này là Green, Brown và Xác suất của huyền thoại Kai Chung.

Các Sự tan rã lý cho xác suất là implicity Thoerem Stokes', trong đó một hư hoại một biện pháp khả chiều 3 vào ranh giới của bề mặt bao quanh hỗ trợ của nó.

Trong cơ học thống kê và trong các lĩnh vực ngẫu nhiên markov, có một tỷ lệ bảo tồn lớn ở dạng dòng điện. Mô hình Ising, đặc biệt là ở mức độ quan trọng, và họ hàng của nó có thể được nghiên cứu từ quan điểm của các chức năng điều hòa và biến hình rời rạc. Từ các phương trình Cauchy Riemann, người ta khôi phục cả định lý Green và định lý Stokes, trong đó các dòng đều không phân kỳ và không bị cong, điều này cùng ngụ ý rằng trường bên dưới là hình học. Một tài liệu tham khảo tuyệt vời về điều này là từ công trình của Smirnov, Chelkak và Dominil-Copin .

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.