Tôi nghi ngờ nhiều nhà thống kê sẽ phải sử dụng phép tính véc tơ vì nó được dạy cho vật lý và kỹ thuật . Nhưng đối với những gì đáng giá ở đây là một vài chủ đề sẽ sử dụng nó, ít nhất là tiếp tuyến. Chủ đề cơ bản ở đây là các hàm biến hình từ phân tích phức tạp, bao gồm các hàm điều hòa, được liên kết mật thiết thông qua các phương trình Cauchy Riemann với các định lý của Stokes và Green. Các chức năng này có thể được nghiên cứu cả bằng cách kiểm tra phần bên trong miền của chúng cùng với ranh giới của chúng.
Dòng tiền xác suất. Đây không chỉ là cơ học lượng tử. Nói chung, sự khuếch tán xác suất phát sinh khi nghiên cứu phân phối xác suất thay đổi theo thời gian mà thay đổi suôn sẻ. Điều này bao gồm phiên bản ngẫu nhiên của các hệ thống cổ điển, như phương trình nhiệt, Navier Stokes cho động lực học chất lỏng, phương trình sóng cho cơ học lượng tử, v.v. Ví dụ về các phương trình bao gồm phương trình Fokker-Planck và phương trình Kolmogorov Backwards / Forwards liên quan đến các phân kỳ. đến các phương trình nhiệt, tích phân Feynan-Kac, các bài toán dirichlet và các hàm của Green. Các từ khóa ở đây là các hàm điều hòa phức tạp, thỏa mãn tính chất giá trị trung bình, đến lượt nó là hệ quả của định lý tích phân của Green và định lý Stokes. Một ví dụ cổ điển là tính toán thời gian thoát của khuếch tán từ một vùng kín, điều này làm giảm việc đánh giá các tích phân trên ranh giới của bề mặt và khai thác sự hài hòa trong khu vực.
Ví dụ chính ở đây là các vấn đề liên quan đến chuyển động Brown, và nói chung là lớp học rộng của Ito Diffusions . Một cuốn sách tuyệt vời (và lập dị!) Về điều này là Green, Brown và Xác suất của huyền thoại Kai Chung.
Các Sự tan rã lý cho xác suất là implicity Thoerem Stokes', trong đó một hư hoại một biện pháp khả chiều 3 vào ranh giới của bề mặt bao quanh hỗ trợ của nó.
Trong cơ học thống kê và trong các lĩnh vực ngẫu nhiên markov, có một tỷ lệ bảo tồn lớn ở dạng dòng điện. Mô hình Ising, đặc biệt là ở mức độ quan trọng, và họ hàng của nó có thể được nghiên cứu từ quan điểm của các chức năng điều hòa và biến hình rời rạc. Từ các phương trình Cauchy Riemann, người ta khôi phục cả định lý Green và định lý Stokes, trong đó các dòng đều không phân kỳ và không bị cong, điều này cùng ngụ ý rằng trường bên dưới là hình học. Một tài liệu tham khảo tuyệt vời về điều này là từ công trình của Smirnov, Chelkak và Dominil-Copin .