Là căn bậc hai của một ma trận bán xác định dương là một kết quả duy nhất?

Tôi đang cố gắng phân tách một chuỗi thời gian của quan sát v c thành cấu trúc hiệp phương sai n × n ∑ và một chuỗi ngẫu nhiên v .$n$$\bf{\mathrm{v_c}}$$n \times n$$\sum$$\bf{\mathrm{v}}$

Vì vậy, tôi có thể rút ra ma trận phương sai hiệp phương sai từ hàm tự tương quan của v c . Đây sẽ là một ma trận Toeplitz, là semidefinite dương. Do đó, tôi có thể tính toán một ma trận phù hợp ∑ - $\sum$$\bf{\mathrm{v_c}}$ để chuyển đổi chuỗi tương quan của tôi thành một tín hiệu ngẫu nhiên. $\sum^{-\frac{1}{2}}$

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

Tôi có thể thực hiện điều này bằng cách sử dụng hàm sqrt (m) trong MATLAB, nhưng cũng có thể tìm thấy hệ số Cholesky của ma trận phương sai hiệp phương sai và sử dụng hàm này để tạo ra các mối tương quan. Tuy nhiên, tôi nhận được các kết quả khác nhau (nhưng hơi giống nhau) cho chuỗi ngẫu nhiên bằng cách sử dụng phương pháp sqrtm và Cholesky.

Tôi đã đọc qua một số văn bản để xác định làm thế nào tôi có thể xác định được căn bậc hai của các ma trận khác nhau và đã xem xét các phương pháp phân rã eigenvalue, v.v. Tôi thấy chỉ có những giải pháp duy nhất trong những điều kiện quy định nhất định - nhưng tôi cho rằng những giải pháp độc đáo này vẫn chỉ là một trong nhiều gốc rễ?

Câu hỏi của tôi là thế này: có cách nào để tranh luận rằng một căn bậc hai cụ thể là thích hợp hơn một căn bậc hai. Nếu không, có cách nào để trích xuất tất cả các giải pháp có thể, sao cho tất cả các hàm ngẫu nhiên có thể có được?

Đặt ma trận có "căn bậc hai" A và B ; đó là,$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

Để đơn giản, giả sử ma trận gốc là không thể đảo ngược (tương đương với xác định dương theo các giả định). Sau đó , và chuyển đổi của chúng cũng phải khả nghịch vì$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

thể hiện một nghịch đảo trái cho , ngụ ý cũng không thể đảo ngược; tất nhiên, đối số tương tự áp dụng cho . Chúng tôi khai thác các nghịch đảo này để viết$\mathbb{A}^\intercal$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

cho thấy là một ma trận trực giao : đó là . Tập hợp các ma trận như vậy tạo thành hai đa tạp thực sự trơn tru của chiều khi là by . Về mặt hình học, ma trận trực giao tương ứng với các phép quay hoặc phản xạ theo sau các phép quay, tùy thuộc vào dấu hiệu của định thức của chúng.$\mathbb{O=B^{-1}A}$$\mathbb{OO^\intercal=I}$$n(n-1)/2$$\mathbb{V}$$n$$n$

Ngược lại, khi là căn bậc hai của , các phép tính tương tự (nhưng dễ dàng hơn) cho thấy cũng là một căn bậc hai cho bất kỳ ma trận trực giao nào - và nó không quan trọng ở đây liệu có thể đảo ngược hay không.$\mathbb{A}$$\mathbb{V}$$\mathbb{AO}$$\mathbb{O}$$\mathbb{A}$

Cũng dễ dàng nhận thấy rằng phép nhân với ma trận trực giao (không bằng ) thực sự làm thay đổi căn bậc hai của ma trận khả nghịch. Rốt cuộc, ngay lập tức ngụ ý . Điều này cho thấy rằng căn bậc hai của ma trận xác định dương có thể được đưa vào một sự tương ứng một-một với ma trận trực giao.$\mathbb{I}$$\mathbb{AO = A}$$\mathbb{O = A^{-1}A = I}$

Điều này chứng tỏ rằng căn bậc hai của ma trận xác định dương được xác định chỉ bằng cách nhân với ma trận trực giao. Đối với trường hợp bán xác định, tình huống phức tạp hơn, nhưng ở mức tối thiểu, nhân với một ma trận trực giao sẽ bảo toàn tính chất là một căn bậc hai.

Nếu bạn muốn áp dụng các tiêu chí bổ sung cho căn bậc hai của mình, bạn có thể xác định một tiêu chí duy nhất hoặc ít nhất là thu hẹp sự mơ hồ: điều đó sẽ phụ thuộc vào sở thích cụ thể của bạn.