Tổng của hai biến ngẫu nhiên gamma độc lập

13

Theo bài viết trên Wikipedia về phân phối Gamma :

Nếu và , nơi và là các biến ngẫu nhiên độc lập, sau đó . $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

Nhưng tôi không thấy bất kỳ bằng chứng nào. Bất cứ ai có thể chỉ cho tôi bằng chứng của nó xin vui lòng?

Chỉnh sửa: Cảm ơn Zen rất nhiều, và tôi cũng tìm thấy câu trả lời như một ví dụ trên trang Wikipedia về các chức năng đặc trưng .

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
nguồn

3

Trực giác: Gamma

phân phối phát sinh như các khoản tiền của

phân phối mũ độc lập, từ đâu đó là ngay lập tức trong bối cảnh này mà

sẽ có một Gamma

phân phối cung cấp

và

đều nguyên dương.

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— whuber

15

Bằng chứng như sau: (1) Hãy nhớ rằng hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là sản phẩm của các hàm đặc trưng riêng lẻ của chúng; (2) Lấy hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên gamma tại đây ; (3) Làm đại số đơn giản.

Để có được một số trực giác ngoài lý lẽ đại số này, hãy kiểm tra nhận xét của người đánh giá.

Lưu ý: OP đã hỏi cách tính hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên gamma. Nếu , thì (bạn có thể coi là hằng số thông thường, trong trường hợp này) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

Bây giờ sử dụng mũi Huber của: Nếu , sau đó , nơi 's là độc lập . Do đó, sử dụng thuộc tính (1), chúng ta có $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

Mẹo: bạn sẽ không học được những điều này khi nhìn vào kết quả và bằng chứng: hãy luôn đói, tính toán mọi thứ, cố gắng tìm bằng chứng của riêng bạn. Ngay cả khi bạn thất bại, sự đánh giá của bạn về câu trả lời của người khác sẽ ở mức cao hơn nhiều. Và, vâng, thất bại là OK: không ai tìm kiếm! Cách duy nhất để học toán là bằng nắm đấm chiến đấu cho từng khái niệm và kết quả.

— thiền học
nguồn

Tuyên bố được tham chiếu tuyên bố rõ ràng "miễn là tất cả Xi đều độc lập."

— whuber

Một điều tôi không nhận được là, làm thế nào chúng ta đến được các chức năng đặc trưng?

— Dexter12

Tôi sẽ thêm nó vào câu trả lời. Hãy xem.

— Zen

Có lẽ bạn có thể bao gồm một tham chiếu cho hàm đặc trưng của một

cho phi nguyên giá trị của

?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Dilip Sarwate

14

Dưới đây là một câu trả lời không cần sử dụng các hàm đặc trưng, mà thay vào đó củng cố một số ý tưởng có các ứng dụng khác trong thống kê. Mật độ của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là kết quả của mật độ. Vì vậy, lấy để dễ trình bày, chúng tôi đã cho , $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— Dilip Sarwate
nguồn

3

(+1) Thật lý tưởng khi có nhiều hơn một cách để chứng minh mọi thứ. Có lẽ ai đó sẽ gửi một câu trả lời xem xét việc chuyển đổi

.

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

— Zen

Chúng ta có thể tìm mật độ tương tự của

trong biểu thức dạng đóng không? Tôi không thể đơn giản hóa các tích phân trong trường hợp đó.

X - Y

$X-Y$

— pikachuchameleon

@pikachuchameleon Xem câu trả lời này của tôi.

— Dilip Sarwate

3

$a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$

độc lập
tổng hợp đến một thời gian chờ đợi cho $a+b$

$a+b$ $a+b,\theta$

Không ai trong số này là bằng chứng toán học, nhưng nó đặt một số xác thịt vào xương của kết nối, và có thể được sử dụng nếu bạn muốn xác thịt nó ra trong một bằng chứng toán học.

— Svein Olav Nyberg
nguồn