Tại sao một công cụ ước tính phải độc lập với tham số?

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Đây là một đoạn trích từ "Thống kê toán học hiện đại với các ứng dụng" của Devore et al. Điều khiến tôi băn khoăn là công cụ ước tính không thể giúp phụ thuộc vào , vì mẫu phụ thuộc vào tham số. $\theta$

estimation

— qed
nguồn

Bạn đúng rằng bất kỳ công cụ ước tính hợp lý nào cũng sẽ là một hàm (không phải là hằng số) của dữ liệu (ngoại trừ trong một số trường hợp đặc biệt, có thể được cho là bệnh lý, ví dụ như ví dụ của tôi ở đây ). Vì vậy, thật đúng khi nói rằng một công cụ ước tính hợp lý không phụ thuộc vào thông qua sự phụ thuộc của nó vào dữ liệu. Nhưng, tôi khá chắc chắn tất cả những gì có nghĩa của câu $\theta$

rằng thực sự là một công cụ ước tính - rằng đó là một chức năng của không phụ thuộc vào $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

là công thức cho một công cụ ước tính không thể chứa tham số. Điều này là để loại trừ những thứ như , đây sẽ là một công cụ ước tính hoàn hảo (ngay cả khi bạn không có dữ liệu !!) nhưng bạn cần phải có tâm lý để tính toán nó :-) $\hat{\theta} = \theta$

Như đã lưu ý trong đoạn bạn đã dán, vì là một thống kê đầy đủ, nên việc phân phối bất kỳ thống kê nào, ví dụ , có điều kiện trên , sẽ không phụ thuộc vào . Do đó, không thể phụ thuộc vào , đảm bảo rằng nó sẽ có thuộc tính được đề cập. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

— Vĩ mô
nguồn

+1 Câu hỏi này phát hiện ra một sự mơ hồ thú vị trong ngôn ngữ của sách giáo khoa (được đón nhận, phổ biến) này: "phụ thuộc vào " có thể có nghĩa ít nhất ba điều khác biệt! (1) không xuất hiện rõ ràng trong công thức. (2) Mặc dù có thể xuất hiện trong công thức, nhưng công thức là bất biến khi thay đổi thành . (3) được xem như một biến ngẫu nhiên (có lẽ không đổi) và "phụ thuộc" có thể được dự định theo nghĩa phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên. Thật không may, việc làm rõ đã cố gắng ("phân phối ... không liên quan đến ") là quá mơ hồ để giúp nhiều.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— whuber

Xin chào @whuber - Tôi không chắc ý của bạn là gì với (2). Tôi đang cố gắng nghĩ về một công cụ ước tính có tài sản đó. Bạn có nghĩa là cách bạn tính toán công cụ ước tính sẽ giống nhau bất kể ? Điều đó dường như tương đương với không xuất hiện trong công thức. Nếu không, bạn lại cần phải là nhà ngoại cảm để tính toán công cụ ước tính, phải không? Nếu bạn có nghĩa là bất biến theo nghĩa là giá trị số của công cụ ước tính vẫn giữ nguyên bất kể giá trị thì điều đó không giống như một công cụ ước tính rất tốt :-) Bạn có thể làm rõ không?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Macro

Đó là một sự khác biệt tinh tế, nhưng đó là sự thật. Như một ví dụ tầm thường, sau khi quan sát thành công trong IID thử nghiệm nhị thức với tham số , rõ ràng xuất hiện trong (chấp nhận) ước lượng " , "tuy nhiên nó vẫn hợp lệ vì nó không thay đổi với . Tinh tế hơn (và vẫn tầm thường) trong một vấn đề lấy mẫu thông thường của iid, công cụ ước tính không chỉ liên quan đến mà còn thực sự thay đổi theo nó - tuy nhiên khả năng nó không phải là hằng số và cũng tốt như họ đến.

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

— whuber

Tôi đoán tôi vẫn còn thiếu quan điểm của bạn. Trong công cụ ước tính đầu tiên, , vì vậy thực sự hủy bỏ biểu thức và có vẻ tốt hơn là chỉ viết nó dưới dạng . Tôi nghĩ rằng tôi thực sự thiếu điểm của bạn với thứ hai. Tôi không thấy một trong đó và dường như vì xác suất là một số nguyên bằng không. Vì vậy, với xác suất , không liên quan đến . Tôi có lẽ là dày đặc. Nếu quá dài cho một nhận xét, đôi khi chúng ta có thể làm điều này trong trò chuyện.

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

— Macro

Xin lỗi về lỗi đánh máy: công cụ ước tính thứ hai đó phải là . Sự khác biệt trong trường hợp đầu tiên là giữa một công thức và các giá trị của nó . (BTW, phương trình của bạn là với không hoàn toàn chính xác vì nó không thành công cho , trong đó công thức của tôi không được xác định.)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

— whuber