Sinh viên t là hỗn hợp của gaussian

23

Sử dụng phân phối t sinh viên với độ tự do, tham số vị trí $k > 0$ $l$ và tham số tỷ lệ $s$ có mật độ

\frac{Γ (\frac{k + 1}{2})}{Γ (\frac{k}{2} \sqrt{k π s^{2}})} {1 + k^{- 1} (\frac{x - l}{s})}^{- (k + 1) / 2},

$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$

làm thế nào để chứng minh rằng các sinh viên $t$ -distribution có thể được viết như một hỗn hợp của các bản phân phối Gaussian bằng cách cho phép $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ , $\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$ , và tích hợp mật độ khớp $f(x,\tau|\mu)$ để có được mật độ biên $f(x|\mu)$ ? Các thông số của kết quả $t$ -distribution, như chức năng của $\mu,\alpha,\beta$ ?

Tôi bị lạc trong tính toán bằng cách tích hợp mật độ điều kiện chung với phân phối Gamma.

distributions mixture

— Núi lửa Salih
nguồn

31

Bản PDF của bản phân phối chuẩn là

f_{μ, σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x

$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$

nhưng về mặt nó là $\tau = 1/\sigma^2$

g_{μ, τ} (x) = \frac{\sqrt{τ}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{τ (x - μ)^{2}}{2}} d x .

$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$

Bản PDF của bản phân phối Gamma là

h_{α, β} (τ) = \frac{1}{Γ (α)} e^{- \frac{τ}{β}} τ^{- 1 + α} β^{- α} d τ .

$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$

Do đó, sản phẩm của họ, được đơn giản hóa một chút với đại số dễ dàng, do đó

f_{μ, α, β} (x, τ) = \frac{1}{β^{α} Γ (α) \sqrt{2 π}} e^{- τ (\frac{(x - μ)^{2}}{2} + \frac{1}{β})} τ^{- 1 / 2 + α} d τ d x .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$

Phần bên trong của nó rõ ràng có dạng , làm cho nó một bội số của một hàm Gamma khi tích hợp trên toàn bộ phạm vi để . Do đó, tích phân đó là ngay lập tức (có được bằng cách biết tích phân của phân phối Gamma là thống nhất), tạo ra phân phối biên $\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$ $\tau=0$ $\tau=\infty$

f_{μ, α, β} (x) = \frac{\sqrt{β} Γ (α + \frac{1}{2})}{\sqrt{2 π} Γ (α)} \frac{1}{{(\frac{β}{2} (x - μ)^{2} + 1)}^{α + \frac{1}{2}}} .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$

Đang cố gắng để phù hợp với mô hình cung cấp cho chương trình phân phối có một lỗi trong câu hỏi: các PDF để phân phối t Student thực sự là tỷ lệ thuận với $t$

\frac{1}{\sqrt{k} s} {(\frac{1}{1 + k^{- 1} {(\frac{x - l}{s})}^{2}})}^{\frac{k + 1}{2}}

$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$

(sức mạnh của là , không phải ). Phù hợp với các điều khoản chỉ ra , , và $(x-l)/s$ $2$ $1$ $k = 2 \alpha$ $l=\mu$ . $s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

Lưu ý rằng không cần tính toán cho đạo hàm này: mọi thứ đều là vấn đề tìm kiếm các công thức của PDF bình thường và Gamma, thực hiện một số thao tác đại số tầm thường liên quan đến các sản phẩm và quyền hạn, và khớp các mẫu trong các biểu thức đại số (theo thứ tự đó).

— whuber
nguồn

10

Lấy cảm hứng từ câu trả lời này, tôi đã tạo ra một hình ảnh động của phân phối t dưới dạng hỗn hợp của các phân phối bình thường. Nó có sẵn ở đây: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— Rasmus Bååth

1

@whuber: Về mặt kỹ thuật, đối với loại kết hợp đó, luôn có một cách sử dụng phép tính ngầm trong sự công nhận của bạn rằng bạn có thể tích hợp mật độ gamma bằng cách sử dụng dạng tích phân đã biết của nó. (Đây là tương đương với thống kê của việc giấu bông cải xanh bằng cách trộn nó với thịt và khoai tây.) Một cách thông minh để che giấu tính toán!

— Phục hồi lại

1

$t$ $k$ $Y$ $Y$ $X$ $t(k)$ $X$ $\sqrt Y$ $\Phi$ $Y$ $IG(k/2,k/2)$ $\Phi$

— Jingjings
nguồn

0

$0$

\sqrt{1 / τ} X = Y

$\sqrt{1/\tau} X =Y$

τ

$\tau$

Y

$Y$

τ

$\tau$

τ

$\tau$

\sqrt{1 / τ} X

$\sqrt{1/\tau} X$

τ \sim Γ (α, β) \sim \frac{β}{2} Γ (α, 2) \sim \frac{β}{2} χ^{2} (2 α)

$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$

Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(β / 2) χ^{2} (2 α)}}

$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$

= \frac{X \sqrt{α β}}{\sqrt{χ_{2 α}^{2} / (2 α)}}

$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$

k = 2 α

$k=2\alpha$

s = 1 / \sqrt{α β}

$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$

μ

$\mu$

l

$l$

— Romil Sirohi
nguồn