Phương sai của quyền hạn của một biến ngẫu nhiên

Có thể rút ra một công thức cho phương sai lũy thừa của một biến ngẫu nhiên theo giá trị kỳ vọng và phương sai của X không? và

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value

— damla
nguồn

Bạn có một phân phối cụ thể trong tâm trí? Để có được một giải pháp, bạn cần một số hạn chế như vậy. Nếu có bất kỳ công thức chung nào tồn tại, thì sẽ có một vài phân phối đáng chú ý: công thức đó sẽ xác định tất cả các thời điểm cao hơn và vì vậy tất cả các phân phối có thể được tham số hóa bởi kỳ vọng và phương sai, rõ ràng không phải là trường hợp.

— whuber

Tôi không có bất kỳ hạn chế. Phiên bản độc lập và tổng quát hơn của vấn đề này đã được giải quyết trong liên kết này: stats.stackexchange.com/questions/52646/ Vì vậy, tôi tự hỏi liệu chúng ta có thể rút ra một phương trình chung cho cái này không. Nói cách khác, tôi đang cố gắng tìm trong đó

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

— damla

Có: sự khác biệt của chúng là phương sai và phương sai, như một tổng bình phương, không thể âm.

— whuber

Stéphane Laurent Tôi không thấy nơi nào đưa ra yêu sách như vậy, nhưng để rõ ràng, tôi đã không duy trì bất kỳ điều gì như vậy.

— whuber

@Bastiaan ; cho các bản phân phối bình thường có sẵn tại đây .

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

— Dougal

nếu bạn có hàm tạo mô men cho phân phối X, bạn có thể tính giá trị mong đợi của bằng cách sử dụng và đánh giá nó tại . $X^n$ $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

— Nick Lim
nguồn

Bạn có thể tiếp tục giải thích làm thế nào điều này có thể giúp tìm không?

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

— Cá bạc

@Silverfish Nhận xét của Dougal về câu hỏi chính, được đăng chỉ ba phút trước khi nhận xét của bạn ở trên, trả lời câu hỏi của bạn hoàn toàn.

— Dilip Sarwate