Kỳ vọng về sản phẩm của các biến ngẫu nhiên Gaussian

Giả sử chúng ta có hai vectơ ngẫu nhiên Gaussian , có một kết quả nổi tiếng về sự mong đợi của sản phẩm mà không giả định độc lập? $p(x_1) = N(0,\Sigma_1), p(x_2) = N(0,\Sigma_2)$ $E[x_1x_2^T]$

random-variable normal-distribution expected-value

@ asd123 1) khi bạn viết nó gợi ý rằng và là các vectơ, trong trường hợp đó, sản phẩm không được định nghĩa là được viết (trừ khi ). Ý bạn là ? Nếu không, ý bạn là gì? 2) Nếu không có tính độc lập thì không nhất thiết phải là bình thường, do đó có vẻ như bạn sẽ cần thêm thông tin về phân phối chung của chúng (và / hoặc ma trận phương sai / hiệp phương sai) trước bạn có thể nói bất cứ điều gì dứt khoát.

Σ

$\Sigma$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1} x_{2}

$x_{1}x_{2}$

n = 1

$n=1$

x_{1}^{T} x_{2}

$x_{1}^{\mathrm{T}}x_{2}$

(x_{1}, x_{2})

$(x_{1},x_{2})$

Vâng, tôi đã có nghĩa là và là vectơ. Tôi cũng biết rằng họ là Gaussian chung. cái đó có giúp ích không?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

@ asd123 một phần, có, bởi vì sau đó và sẽ độc lập khi và chỉ khi chúng không tương thích (hãy xem ma trận phương sai / hiệp phương sai của . Nếu ma trận khối ngoài đường chéo bằng 0 thì chúng không tương quan). Nếu chúng độc lập thì bạn chỉ cần viết ra sản phẩm chấm ở trên, lấy các giá trị mong đợi và bạn sẽ hoàn tất. Nếu chúng không độc lập thì bạn có biết gì về các mục nhập khối không?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x^{T} = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T})

$x^{\mathrm{T}}=(x_{1}^{\mathrm{T}},x_{2}^{\mathrm{T}})$

Nhân tiện, nếu những điều trên thực sự là ý bạn thì tôi khuyên bạn nên thay đổi tiêu đề thành "Kỳ vọng về sản phẩm chấm của các vectơ ngẫu nhiên Gaussian".

Xin lỗi, tôi dự định chuyển đổi các biến khác. Vì vậy, kết quả là một ma trận. Tức là (Mx1) x (1xM) = (MxM)

Câu trả lời:

Vâng, có một kết quả nổi tiếng. Dựa trên chỉnh sửa của bạn, chúng tôi có thể tập trung đầu tiên vào các mục riêng lẻ của mảng . Một mục như vậy là tích của hai biến có giá trị trung bình bằng 0 và phương sai hữu hạn, giả sử và . Các Cauchy-Schwarz bất bình đẳng có nghĩa giá trị tuyệt đối của sự mong đợi của sản phẩm không thể vượt quá . Trong thực tế, mọi giá trị trong khoảng $E[x_1 x_2^T]$ $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ $|\sigma_1 \sigma_2|$ là có thể bởi vì nó phát sinh cho một số phân phối bất thường. Do đó, xâm nhập của phải nhỏ hơn hoặc bằng $[-|\sigma_1 \sigma_2|, |\sigma_1 \sigma_2|]$ $i,j$ $E[x_1 x_2^T]$ về giá trị tuyệt đối. $\sqrt{\Sigma_{1_{i,i}} \Sigma_{2_{j,j}}}$

Nếu bây giờ chúng ta giả sử tất cả các biến là bình thường và là đa thường, sẽ có những hạn chế hơn nữa vì ma trận hiệp phương sai của phải là nửa cực dương. Thay vì tin vào quan điểm, tôi sẽ minh họa. Giả sử có hai thành phần và và có một thành phần . Hãy và có đơn vị sai và tương quan (do đó quy định cụ thể $(x_1; x_2)$ $(x_1; x_2)$ $x_1$ $x$ $y$ $x_2$ $z$ $x$ $y$ $\rho$ ) và giả sử có đơn vị sai ( ). Hãy để kỳ vọng của là và của là . Chúng tôi đã thiết lập rằng và . Tuy nhiên, không phải tất cả các kết hợp đều có thể: ở mức tối thiểu,định thức của ma trận hiệp phương sai của không thể âm. Điều này áp đặt điều kiện không tầm thường $\Sigma_1$ $z$ $\Sigma_2$ $x z$ $\alpha$ $y z$ $\beta$ $|\alpha| \le 1$ $|\beta| \le 1$ $(x_1; x_2)$

1 - α^{2} - β^{2} + 2 α β ρ - ρ^{2} \geq 0.

$1-\alpha ^2-\beta ^2+2 \alpha \beta \rho -\rho ^2 \ge 0.$

Đối với bất kỳ này là một hình elip (cùng với nội thất của nó) ghi trong vuông . $-1 \lt \rho \lt 1$ $\alpha, \beta$ $[-1, 1] \times [-1, 1]$

Để có được những hạn chế hơn nữa, các giả định bổ sung về các biến là cần thiết.

Âm mưu của vùng cho phép $(\rho, \alpha, \beta)$

văn bản thay thế

— whuber
nguồn

Không có kết quả mạnh mẽ và nó không phụ thuộc vào Gaussianity. Trong trường hợp và là vô hướng, bạn sẽ hỏi liệu việc biết phương sai của các biến có ngụ ý gì về hiệp phương sai của chúng không. Câu trả lời của ai là đúng. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bán chính xác dương ràng buộc các giá trị có thể. $x_1$ $x_2$

Ví dụ đơn giản nhất là hiệp phương sai bình phương của một cặp biến không bao giờ có thể vượt quá tích của phương sai của chúng. Đối với ma trận hiệp phương sai có một khái quát.

Hãy xem xét những khối partitioned hiệp phương sai ma trận , $[x_1 \ x_2]$

[\begin{array}{cc} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{array}] .

$\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right].$

‖ Σ_{12} ‖_{q}^{2} \leq ‖ Σ_{11} ‖_{q} ‖ Σ_{22} ‖_{q}

$\Vert \Sigma_{12} \Vert_q^2 \leq \Vert \Sigma_{11} \Vert_q \Vert \Sigma_{22} \Vert_q$

Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21}

$\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$

Σ_{22}^{- 1}

$\Sigma_{22}^{-1}$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

— vqv
nguồn

$(X,Y)$ $\rho$

${\mathrm E} XY= cov(X,Y)= \rho\sigma_X\sigma_Y$

$x_1x_2^T$ $XY$

— ronaf
nguồn

| ρ | \leq 1

$|\rho| \le 1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$