Ma trận hiệp phương sai cho quá trình Gaussian và phân phối Wishart

Tôi đang đọc qua bài viết này về Quy trình Wishart tổng quát (GWP). Bài viết tính toán hiệp phương sai giữa các biến ngẫu nhiên khác nhau (theo quy trình Gaussian ) bằng cách sử dụng hàm hiệp phương số mũ bình phương, nghĩa là . Sau đó nó nói rằng ma trận hiệp phương sai này tuân theo GWP. $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Tôi đã từng nghĩ rằng một ma trận hiệp phương sai được tính từ hàm hiệp phương sai tuyến tính ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ , theo Phân phối Wishart với các tham số thích hợp.

Câu hỏi của tôi là, làm thế nào chúng ta vẫn có thể giả sử hiệp phương sai tuân theo phân phối Wishart với hàm hiệp phương sai lũy thừa bình phương? Ngoài ra, nói chung, điều kiện cần thiết cho hàm hiệp phương sai để tạo ra ma trận hiệp phương sai phân tán Wishart là gì?

— cá ổn định
nguồn

Những gì được trộn lẫn là đặc tả hiệp phương sai về không gian xung quanh mà quy trình Gaussian được xác định và hoạt động biến đổi một biến ngẫu nhiên Gaussian hữu hạn để mang lại phân phối Wishart.

$\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$ .

$\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
nguồn

Cảm ơn đã trả lời này. Tôi có một vài câu hỏi, reg. câu trả lời của bạn -Khi bạn nói phép biến đổi biến đổi Gaussian thành Wishart dist giữ cho bất kỳ sự lựa chọn nào về + ma trận cov xác định, chúng ta có những lựa chọn khác nào cho ma trận cov này? Ngoài ra, chỉ cần làm rõ - đối với ma trận cov được xác định bởi hàm cov, i và j chỉ ra các phần tử trong không gian xung quanh của Quá trình Gaussian (ví dụ: nếu đó là một quá trình tạm thời thì thời gian là t_1 và t_2)?

— cá ổn định

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

x^{T} x

$x^{T}x$

@steadyfish, oh, tôi hiểu rồi. Trong thực tế, tôi đã cẩu thả với các chuyển vị và liệu các vectơ là vectơ hàng hay cột. Bây giờ tôi đã thực hiện chính xác điều đó và thêm một chút về mối quan hệ giữa ma trận hiệp phương sai thực nghiệm và ma trận hiệp phương sai lý thuyết. Các lý thuyết không được xác định trong điều khoản của các quan sát.

— NRH