Định lý Gauss-Markov: BLUE và OLS

Tôi đang đọc định lý Guass-Markov trên wikipedia và tôi hy vọng ai đó có thể giúp tôi tìm ra điểm chính của định lý.

Chúng tôi giả sử một mô hình tuyến tính, ở dạng ma trận, được đưa ra bởi: và chúng tôi đang tìm kiếm BLUE, .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

Theo đó , tôi sẽ gắn nhãn là "dư" và "lỗi". (Tức là ngược lại với cách sử dụng trên trang Gauss-Markov).ε = β - $\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

Công cụ ước tính OLS (bình phương nhỏ nhất) có thể được suy ra dưới dạng argmin của .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Bây giờ, hãy để biểu thị toán tử kỳ vọng. Theo hiểu biết của tôi, định lý Gauss-Markov nói với chúng ta là gì, nếu và , sau đó là argmin, trên tất cả tuyến tính, ước lượng không thiên vị, của được cho bởi biểu thức tương tự như Công cụ ước tính OLS.E ( η ) = 0 Var ( η ) = σ 2 tôi E ( | | lỗi | | 2 2 ) = E ( | | ε | | 2 2$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Tức là

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Tôi hiểu có đúng không? Và nếu vậy, bạn sẽ nói rằng nó xứng đáng được nhấn mạnh nổi bật hơn trong bài viết?

Tôi không chắc liệu tôi có hiểu chính xác câu hỏi của bạn không, nhưng nếu bạn đang muốn chứng minh rằng OLS cho là BLUE (công cụ ước tính không thiên vị tuyến tính tốt nhất), bạn phải chứng minh hai điều sau: Đầu tiên là không thiên vị và thứ hai là là nhỏ nhất trong số tất cả các công cụ ước tính không thiên vị tuyến tính. $\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

Bằng chứng là công cụ ước tính OLS không thiên vị có thể được tìm thấy ở đây http://economtheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

và bằng chứng rằng là nhỏ nhất trong số tất cả các công cụ ước tính không thiên vị tuyến tính có thể được tìm thấy ở đây http://ec economtheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

Có vẻ như linh cảm của tôi đã thực sự chính xác, như đã xác nhận, ví dụ như trên trang 375 của cuốn sách Kinh tế lượng giới thiệu . Đoạn trích có liên quan: