Số lượng trùng lặp dự kiến (ba lần, v.v.) khi vẽ thay thế

Tôi có vấn đề sau:

Tôi có 100 mặt hàng duy nhất (n) và tôi đang chọn 43 (m) trong số chúng cùng một lúc (có thay thế).

Tôi cần giải quyết số lượng đơn vị dự kiến (chỉ được chọn một lần, k = 1), nhân đôi (được chọn chính xác hai lần k = 2), bộ ba (chính xác là k = 3), tứ giác, v.v ...

Tôi đã có thể tìm thấy nhiều kết quả về xác suất có ít nhất một lần (nghịch lý sinh nhật), nhưng không phải là số lượng cặp dự kiến trong dân số.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
nguồn

Một ước tính Monte Carlo sẽ hữu ích cho bạn, hoặc bạn cần câu trả lời ở dạng kín?

— David J. Harris

Tôi thích một công thức dạng đóng để tôi có thể dễ dàng áp dụng nó cho các giá trị khác nhau của n, m và k.

— Kaitlyn K

Vòng lặp sẽ được chọn lần. Từ đây, bạn có thể tìm thấy tất cả số lượng bạn muốn, vì, ví dụ: Ví dụ: số lượng cặp dự kiến được cho bởi $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Bạn có thể nhận giá trị số trong R bằng lệnh n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Đánh cuộc Stefan
nguồn

Công thức đó có thể được sử dụng cho ak = 0 hoặc 1 không?

— Kaitlyn K

Có nó có thể. Với k = 0, bạn có thể hiểu nó là 'có bao nhiêu điểm sẽ không xuất hiện trong số những điểm được chọn'.

— Stefan Wager

Nhưng những sự kiện này không độc lập. Ví dụ: khi mục 1 xuất hiện m lần, thì không có mục nào khác có thể xuất hiện. Bạn không thể chỉ cần thêm P.

— asterix314

Số lượng trùng lặp dự kiến ​​(ba lần, v.v.) khi vẽ thay thế

Số lượng trùng lặp dự kiến (ba lần, v.v.) khi vẽ thay thế