Giá trị mong đợi và phương sai của log (a)

Tôi có một biến ngẫu nhiên trong đó a được phân phối bình thường . Tôi có thể nói gì về và ? Một xấp xỉ cũng sẽ hữu ích. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rockportrocker
nguồn

Tôi nghĩ rằng câu hỏi là về "nghịch đảo" của log-normal, tức là trong đó một rv A bình thường dẫn đến log-normal X = exp (A), người hỏi đã hỏi về phân phối X = log (A), trong đó không xác định (do đôi khi yêu cầu nhật ký của số âm). Có thể có một số kết quả cho việc cắt ngắn bình thường, nhưng chúng có thể bị lộn xộn.

— Martin O'Leary

Rockportrocker, như @Martin O'Leary chỉ ra, về mặt toán học không thể có biến như vậy , bởi vì không được xác định cho các giá trị âm. Tối thiểu bạn cần cắt bớt giá trị không âm. Ông có thể cho chúng tôi biết lý do tại sao bạn tin rằng có thể là bình thường?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Nếu chúng ta xem xét "xấp xỉ" theo nghĩa khá chung chung, chúng ta có thể nhận được ở đâu đó.

Chúng ta phải giả định rằng chúng ta không có phân phối bình thường thực sự mà là một thứ gì đó gần như bình thường ngoại trừ mật độ không thể khác 0 trong vùng lân cận 0.

Vì vậy, chúng ta hãy nói rằng là "xấp xỉ bình thường" (và tập trung gần * trung bình) trong một cảm giác rằng chúng ta có thể handwave đi những lo ngại về tới gần 0 (và tác động tiếp theo của nó đối với những khoảnh khắc của , bởi vì doesn 't' xuống gần 0 '), nhưng với cùng thời điểm thứ tự thấp như phân phối bình thường đã chỉ định, sau đó chúng ta có thể sử dụng chuỗi Taylor để tính gần đúng các khoảnh khắc của biến ngẫu nhiên được chuyển đổi . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Đối với một số biến đổi , điều này liên quan đến việc mở rộng như là một loạt Taylor (nghĩ nơi đang diễn vai trò của ' ' và mất vai trò của ' ') và sau đó lấy kỳ vọng và sau đó tính toán phương sai hoặc kỳ vọng của bình phương của sự mở rộng (từ đó có thể thu được phương sai). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

Kết quả gần đúng kỳ vọng và phương sai là:

và $\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

và vì vậy (nếu tôi không mắc lỗi nào), khi : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Để đây là một xấp xỉ tốt, bạn thường muốn độ lệch chuẩn của khá nhỏ so với giá trị trung bình (hệ số biến thiên thấp). $a$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Bởi vì chuỗi Taylor cho nhật ký có bán kính hội tụ tương đối nhỏ, nên thận trọng khi áp dụng các xấp xỉ này.

— whuber

@whuber cho một mở rộng xung quanh giá trị trung bình, tôi nghĩ rằng điều này sẽ tương ứng với lời khuyên rằng "độ lệch chuẩn của

nên khá nhỏ so với trung bình" mà câu trả lời của tôi kết thúc - nếu tôi thiếu một số vấn đề nữa mà lời khuyên đó Tôi không bao gồm câu trả lời.

a

$a$

— Glen_b -Reinstate Monica

Xấp xỉ cho các công trình có ý nghĩa khá tốt cho

và đối với phương sai hoạt động khá tốt cho

hoặc lâu hơn.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

Trong mọi trường hợp, điều chắc chắn là rõ ràng rằng chúng ta gián tiếp dựa vào sự hội tụ của

(vì

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ). Thanks also for the suggested explicit values; if anything perhaps I am slightly overcautious when I use it. Two valuable comments.

— Glen_b -Reinstate Monica