Tỷ số tổng bình thường so với tổng số khối bình thường

12

Xin hãy giúp tôi để tìm sự phân bố hạn chế (như $n \rightarrow \infty$ ) những điều sau đây:

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$ nơi

X_{i}

$X_i$ đang IID

N (0, 1)

$N(0,1)$ .

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
nguồn

1

Bạn đã thử nhìn vào các biến đổi của các biến ngẫu nhiên? Chẳng hạn, người ta có thể thử các hàm đặc trưng, biến đổi Laplace-Stieltjes, vân vân.

— Stijn

1

Gợi ý: Tử số và mẫu số là hai biến bất thường bình thường. Bạn có thể tính toán trực tiếp khoảnh khắc của họ: phương tiện của họ rõ ràng bằng không, phương sai của tử số là

, phương sai của mẫu số là

và hiệp phương sai là

. (Do đó, tương quan là

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

.) Để tìm sự phân bố hạn chế, thể hiện bất kỳ hai biến zero-mean bình thường

theo hình thức

cho độc lập normals zero-mean

và

và liên tục

, sau đó lưu ý tỷ lệ

là một phân phối Cauchy dịch chuyển thu nhỏ lại.

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

Nếu việc xây dựng là nơivàlà độc lập, nó sẽ chỉ là một tập thể dục sách giáo khoa kinh điển. Bạn sử dụng thực tế là

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

và chúng tôi có thể kết luận rằng

tiệm cận với phân phối Cauchy được chia tỷ lệ.

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Nhưng trong công thức của bạn, chúng tôi không thể áp dụng định lý do phụ thuộc. Monte-Carlo của tôi gợi ý rằng phân phối giới hạn của là không suy biến và nó không có khoảnh khắc đầu tiên và không đối xứng. Tôi muốn biết liệu có một giải pháp rõ ràng cho vấn đề này không. Tôi cảm thấy như giải pháp chỉ có thể được viết theo quy trình Wiener. $U_n$

[EDIT] Theo gợi ý của người đăng ký, lưu ý rằng

trong đóbằng cách lưu ý rằngvà. (khoảnh khắc của tiêu chuẩn bình thường,

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

cho chẵn

) Sau đó bằng định lý ánh xạ liên tục, ta có

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

Lưu ý rằng chúng ta có thể viết

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

nơi

và không phụ thuộc vào

, chúng tôi kết luận rằng

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

nơi

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
nguồn

0

$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Tôi đã nghe nói rằng tỷ lệ hoặc nghịch đảo của các biến ngẫu nhiên thường có vấn đề, không có kỳ vọng. Tại sao vậy? ). Nhưng ở đây, có sự phụ thuộc giữa tử số và mẫu số làm phức tạp vấn đề ... (Rõ ràng cần nhiều suy nghĩ hơn ở đây).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
nguồn