Lỗi tiêu chuẩn của độ dốc trong hồi quy tuyến tính piecewise với các điểm dừng đã biết

Tình huống

Tôi có một tập dữ liệu với một biến phụ thuộc và một biến độc lập . Tôi muốn điều chỉnh hồi quy tuyến tính từng phần liên tục với điểm dừng cố định / đã biết xảy ra tại (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}) . Các breakpoins được biết mà không có sự không chắc chắn, vì vậy tôi không muốn ước tính chúng. Sau đó, tôi phù hợp với hồi quy (OLS) có dạng y_ {i} = \ beta_ {0} + \ beta_ {1} x_ {i} + \ beta_ {2} \ operatorname {max} (x_ {i} -a_ { 1}, 0) + \ beta_ {3} \ operatorname {max} (x_ {i} -a_ {2}, 0) + \ ldots + \ beta_ {k + 1} \ operatorname {max} (x_ {i} - a_ {k}, 0) + \ epsilon_ {i} Đây là một ví dụ trongx k ( một 1 , một 2 , ... , một k ) y i = β 0 + β 1 x i + β 2 max ( x i - một 1 , 0 ) + β 3 max ( x i - một 2 , 0 ) + ... + β k + 1 max ( $y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

Giả sử rằng điểm dừng $k_1$ xảy ra ở $9.6$ :

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Phần chặn và độ dốc của hai đoạn lần lượt là: và cho phần thứ nhất và và cho phần thứ hai.$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

Câu hỏi

1. Làm thế nào để dễ dàng tính toán đánh chặn và độ dốc của từng đoạn? Mô hình có thể được sửa lại để làm điều này trong một phép tính không?
2. Làm thế nào để tính sai số chuẩn của từng độ dốc của từng đoạn?
3. Làm thế nào để kiểm tra xem hai sườn liền kề có cùng độ dốc hay không (nghĩa là điểm dừng có thể được bỏ qua không)?

1. Làm thế nào để dễ dàng tính toán đánh chặn và độ dốc của từng đoạn?

Độ dốc của mỗi phân đoạn được tính bằng cách chỉ cần thêm tất cả các hệ số lên đến vị trí hiện tại. Vì vậy, ước tính độ dốc tại là .$x=15$$-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$

Việc đánh chặn khó hơn một chút, nhưng đó là sự kết hợp tuyến tính của các hệ số (liên quan đến các nút thắt).

Trong ví dụ của bạn, dòng thứ hai gặp dòng đầu tiên tại , vì vậy điểm màu đỏ nằm trên dòng đầu tiên ở . Do đường thứ hai đi qua điểm có độ dốc , nên phần chặn của nó là . Tất nhiên, bạn có thể đặt các bước đó lại với nhau và nó đơn giản hóa ngay đến phần chặn cho phân đoạn thứ hai = .$x=9.6$$21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$$(9.6, 11.428)$$0.2757$$11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$

Mô hình có thể được xác định lại để làm điều này trong một phép tính không?

Vâng, vâng, nhưng nói chung có lẽ dễ dàng hơn để tính toán nó từ mô hình.

2. Làm thế nào để tính sai số chuẩn của từng độ dốc của từng đoạn?

Kể từ khi ước tính là sự kết hợp tuyến tính của các hệ số hồi quy , nơi bao gồm 1 và 0s, phương sai là . Lỗi tiêu chuẩn là căn bậc hai của tổng các phương sai và hiệp phương sai.$a^\top\hat\beta$$a$$a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$

ví dụ: trong ví dụ của bạn, lỗi tiêu chuẩn về độ dốc của đoạn thứ hai là:

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

cách khác ở dạng ma trận:

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. Làm thế nào để kiểm tra xem hai sườn liền kề có cùng độ dốc hay không (nghĩa là điểm dừng có thể được bỏ qua không)?

Điều này được kiểm tra bằng cách xem xét hệ số trong bảng của phân khúc đó. Xem dòng này:

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

Đó là sự thay đổi độ dốc ở 9.6. Nếu thay đổi đó khác 0, hai độ dốc không giống nhau. Vì vậy, giá trị p cho một bài kiểm tra rằng đoạn thứ hai có cùng độ dốc với đoạn thứ nhất nằm ngay cuối dòng đó.

Cách tiếp cận ngây thơ của tôi, mà trả lời câu hỏi 1:

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

Nhưng tôi không chắc liệu các số liệu thống kê (cụ thể là mức độ tự do) có được thực hiện chính xác hay không, nếu bạn làm theo cách này.