Hoàn thành đủ số liệu thống kê

Gần đây tôi đã bắt đầu nghiên cứu suy luận thống kê. Tôi đã làm việc với nhiều vấn đề khác nhau và vấn đề này khiến tôi hoàn toàn bối rối.

Đặt là một mẫu ngẫu nhiên từ một phân phối rời rạc, gán cho xác suất các giá trị , trong đó là một số nguyên. Cho thấy rằng không tồn tại một thống kê đầy đủ. $X_1,\dots,X_n$ $\frac{1}{3}$ $\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ $\theta$

Có ý kiến gì không?

— Tony
nguồn

Bạn có gì cho đến nay?

— gung - Phục hồi Monica

Tôi có thể viết khả năng là:

(\frac{1}{3})^{n}

$(\frac{1}{3})^n$ lần so với sản phẩm của các chức năng chỉ báo rằng mỗi quan sát bằng một trong hai

θ - 1, θ, or θ + 1

$\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ . Từ đó có vẻ như số liệu thống kê đầy đủ là số liệu thống kê đơn hàng. Tôi đã suy nghĩ về điều này trong nhiều ngày, nó giống như không có gì tôi từng thấy trước đây.

— Tony

Bạn biết gì về sự hoàn thiện?

— Glen_b -Reinstate Monica

Một thống kê,

, hoàn thành nếu nó thỏa mãn điều kiện, đối với một số hàm

, nếu

, thì

T

$T$

g (T)

$g(T)$

E [g (T)] = 0

$E[g(T)]=0$

g (T) = 0

$g(T)=0$

a . e .

$a.e.$

— Tony

Vì vậy, bạn cần tìm một ví dụ ngược lại ... bạn có thể tìm thấy thống kê phụ trợ rõ ràng nào từ mức tối thiểu và tối đa của mẫu?

— Scortchi - Phục hồi Monica

(1) Hiển thị rằng đối với cỡ mẫu , , trong đó là mức tối thiểu mẫu & tối đa mẫu, là đủ tối thiểu. $n$ $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ $X_{(1)}$ $X_{(n)}$

(2) Tìm sự phân bố lấy mẫu của dãy & vì thế kỳ vọng của nó . Nó sẽ chỉ là một hàm của , không phải của (đó là điều quan trọng, và có lẽ bạn có thể hiển thị mà không chỉ định chính xác). $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E R$ $n$ $\theta$

(3) Sau đó chỉ cần cho . Đây không phải là chức năng của , và kỳ vọng của nó là bằng không; Tuy nhiên, nó không chắc chắn bằng không: do đó chưa hoàn thành. Vì là số lượng tối thiểu, theo định lý của Bahadur rằng không có thống kê đầy đủ nào được hoàn thành. $g(T)=R-\E R$ $\theta$ $T$ $T$

— Scortchi - Tái lập Monica
nguồn

Bạn có thể đưa ra một tài liệu tham khảo cho định lý của Bahadur trong đó nói rằng nếu một thống kê đủ tối thiểu không hoàn thành, thì một thống kê đủ đầy đủ không tồn tại? Tôi đã tìm kiếm kết quả này, nhưng không thể tìm thấy nó ở bất cứ đâu.

— StubbornAtom

@StubbornAtom: Định lý của Bahadur nói rằng nếu một thống kê hoàn thành thì nó đủ tối thiểu (cung cấp một thống kê đủ tối thiểu tồn tại). Vì vậy, một khi bạn cho thấy rằng một thống kê đủ tối thiểu tồn tại & không đầy đủ, bạn không cần phải lo lắng về khả năng thống kê đầy đủ không tối thiểu. (Hoặc tất nhiên về khả năng thống kê đầy đủ tối thiểu khác - tất cả chúng đều là các chức năng một đối một của nhau.)

— Scortchi - Tái lập Monica

Suy nghĩ về nó, nó sẽ đã đơn giản chỉ để nói rằng

, là tối thiểu đủ, một số chức năng

của bất kỳ số liệu thống kê đầy đủ

, & do đó

cũng đi vào hiển thị không đầy đủ

T

$T$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

S

$S$

g (T) = g (f (S))

$g(T)=g(f(S))$

S

$S$

— Scortchi - Phục hồi Monica