Tổng bình phương t biến thiên là gì?

Đặt được rút iid từ bản phân phối Student t với bậc tự do, cho có kích thước vừa phải (giả sử dưới 100). Xác định Is phân phối gần như là một chi-vuông với bậc tự do? Có cái gì đó giống như Định lý giới hạn trung tâm cho tổng các biến ngẫu nhiên bình phương không? n n T = Σ 1 ≤ i ≤ k t 2 i T $t_i$$n$$n$

Trả lời câu hỏi đầu tiên.

Chúng ta có thể bắt đầu từ thực tế được ghi nhận bởi mpiktas, rằng . Và sau đó thử một bước đơn giản hơn lúc đầu - tìm kiếm phân phối tổng của hai biến ngẫu nhiên được phân phối bởi . Điều này có thể được thực hiện bằng cách tính tích chập của hai biến ngẫu nhiên hoặc tính tích của các hàm đặc trưng của chúng.F ( 1 , n $t^2 \sim F(1, n)$$F(1,n)$

Các bài viết của PCB Phillips cho thấy đoán đầu tiên của tôi về "[confluent] chức năng hypergeometric tham gia" là thực sự đúng. Điều đó có nghĩa là giải pháp sẽ không tầm thường, và lực lượng vũ phu rất phức tạp, nhưng điều kiện cần thiết để trả lời câu hỏi của bạn. Vì là cố định và bạn tổng hợp các phân phối t, chúng tôi không thể nói chắc chắn kết quả cuối cùng sẽ là gì. Trừ khi ai đó có một kỹ năng tốt khi chơi với các sản phẩm của các hàm siêu bội hợp lưu.$n$

Nó thậm chí không phải là một xấp xỉ gần đúng. Đối với nhỏ , kỳ vọng của bằng trong khi kỳ vọng của χ 2 ( k ) bằng k . Khi k là nhỏ (ít hơn 10, ví dụ) biểu đồ của log ( T ) và đăng nhập ( χ 2 ( k ) ) thậm chí không có hình dạng giống nhau, chỉ ra rằng thay đổi và rescaling T vẫn sẽ không làm việc.T k $n$$T$$\frac{k n}{n-2}$$\chi^2(k)$$k$$k$$\log(T)$$\log(\chi^2(k))$$T$

Theo trực giác, đối với các mức độ tự do nhỏ, học sinh bị nặng. Bình phương nó nhấn mạnh sự nặng nề đó. Do đó, các khoản tiền sẽ bị sai lệch nhiều hơn - thường là nhiều sai lệch hơn - so với các khoản tiền bình phương bình phương ( phân phối χ 2 ). Tính toán và mô phỏng mang điều này ra.$t$$\chi^2$

Minh họa (theo yêu cầu)

Mỗi biểu đồ mô tả một mô phỏng độc lập gồm 100.000 thử nghiệm với các mức độ tự do ( ) và triệu tập ( k ) được chỉ định, được chuẩn hóa như mô tả bởi @mpiktas. Giá trị của n = 9999 ở hàng dưới cùng xấp xỉ trường hợp χ 2 . Do đó, bạn có thể so sánh T với χ 2 bằng cách quét xuống từng cột.$n$$k$$n=9999$$\chi^2$$T$$\chi^2$

Lưu ý rằng tiêu chuẩn hóa là không thể đối với vì những khoảnh khắc thích hợp thậm chí không tồn tại. Sự thiếu ổn định của hình dạng (khi bạn quét từ trái sang phải qua bất kỳ hàng nào hoặc từ trên xuống dưới bất kỳ cột nào) thậm chí còn được đánh dấu nhiều hơn cho n ≤ 4 .$n \lt 5$$n \le 4$

$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

$Et_1^2$$Var(t_1^2)$$n$$t_1^2$$1$$n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$