Như một sự khác biệt với bài viết trước của tôi về chủ đề này, tôi muốn chia sẻ một số khám phá dự kiến (mặc dù chưa hoàn chỉnh) về các hàm đằng sau đại số tuyến tính và các hàm R liên quan. Đây được cho là một công việc đang tiến triển.
Q RbạnMộte11bạnTôi - 2u uTx
Phép chiếu kết quả có thể được biểu thị bằng
sign(xi=x1)×∥x∥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢100⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2x3⋮xm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
vxAyu
1vu∥u∥=11w
RQR0Rw11R
qr()$qr
R
I−2uuTxu∥x∥=1w1
I−2uuTx=I−2w∥w∥wT∥w∥x=I−2wwT∥w∥2x(1)
wR1qr()$qr
wtau
τ=wTw2=∥w∥2reflectors=w/τRQR
w1qr()
qr()$qr
τqr()$qraux
ρ=∑reflectors22=wTwτ2/2
w/τ
Tất cả các mã đều ở đây , nhưng vì câu trả lời này là về giao điểm của mã hóa và đại số tuyến tính, tôi sẽ dán đầu ra cho dễ:
options(scipen=999)
set.seed(13)
(X = matrix(c(rnorm(16)), nrow=4, byrow=F))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.5543269 1.1425261 -0.3653828 -1.3609845
[2,] -0.2802719 0.4155261 1.1051443 -1.8560272
[3,] 1.7751634 1.2295066 -1.0935940 -0.4398554
[4,] 0.1873201 0.2366797 0.4618709 -0.1939469
Bây giờ tôi đã viết chức năng House()
như sau:
House = function(A){
Q = diag(nrow(A))
reflectors = matrix(0,nrow=nrow(A),ncol=ncol(A))
for(r in 1:(nrow(A) - 1)){
# We will apply Householder to progressively the columns in A, decreasing 1 element at a time.
x = A[r:nrow(A), r]
# We now get the vector v, starting with first entry = norm-2 of x[i] times 1
# The sign is to avoid computational issues
first = (sign(x[1]) * sqrt(sum(x^2))) + x[1]
# We get the rest of v, which is x unchanged, since e1 = [1, 0, 0, ..., 0]
# We go the the last column / row, hence the if statement:
v = if(length(x) > 1){c(first, x[2:length(x)])}else{v = c(first)}
# Now we make the first entry unitary:
w = v/first
# Tau will be used in the Householder transform, so here it goes:
t = as.numeric(t(w)%*%w) / 2
# And the "reflectors" are stored as in the R qr()$qr function:
reflectors[r: nrow(A), r] = w/t
# The Householder tranformation is:
I = diag(length(r:nrow(A)))
H.transf = I - 1/t * (w %*% t(w))
H_i = diag(nrow(A))
H_i[r:nrow(A),r:ncol(A)] = H.transf
# And we apply the Householder reflection - we left multiply the entire A or Q
A = H_i %*% A
Q = H_i %*% Q
}
DECOMPOSITION = list("Q"= t(Q), "R"= round(A,7),
"compact Q as in qr()$qr"=
((A*upper.tri(A,diag=T))+(reflectors*lower.tri(reflectors,diag=F))),
"reflectors" = reflectors,
"rho"=c(apply(reflectors[,1:(ncol(reflectors)- 1)], 2,
function(x) sum(x^2) / 2), A[nrow(A),ncol(A)]))
return(DECOMPOSITION)
}
Chúng ta hãy so sánh ouput với các hàm tích hợp R. Đầu tiên là chức năng tự làm:
(H = House(X))
$Q
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967 0.5382474 0.2769719
[2,] 0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665 0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794 0.7928072
$R
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318 1.2524151 0.5562856
[2,] 0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 0.4754876
$`compact Q as in qr()$qr`
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183 1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.09911084 0.03909742 0.6235799 0.4754876
$reflectors
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.29329367 0.00000000 0.0000000 0
[2,] -0.14829152 1.73609434 0.0000000 0
[3,] 0.93923665 -0.67574886 1.7817597 0
[4,] 0.09911084 0.03909742 0.6235799 0
$rho
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876
đến các hàm R:
qr.Q(qr(X))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967 0.5382474 0.2769719
[2,] 0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665 0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794 0.7928072
qr.R(qr(X))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318 1.2524151 0.5562856
[2,] 0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 0.4754876
$qr
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183 1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.09911084 0.03909742 0.6235799 0.4754876
$qraux
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876
qr.qy()
đồng ý với các tính toán thủ côngqr.Q(qr(X))
theo sauQ%*%z
trên bài đăng của tôi. Tôi thực sự tự hỏi nếu tôi có thể nói bất cứ điều gì khác nhau để trả lời câu hỏi của bạn mà không trùng lặp. Tôi thực sự không muốn làm một công việc tồi tệ ... Tôi đã đọc đủ các bài đăng của bạn để có nhiều sự tôn trọng dành cho bạn ... Nếu tôi tìm cách thể hiện khái niệm mà không cần mã, chỉ cần khái niệm thông qua đại số tuyến tính, Tôi sẽ trở lại với nó. Mặc dù vậy, tôi rất vui vì bạn đã tìm thấy sự khám phá của tôi về vấn đề giá trị nào đó. Lời chúc tốt đẹp nhất, Toni.