Tính không đồng nhất và tính bình thường

Tôi có một hồi quy tuyến tính khá tốt, tôi đoán vậy (đó là cho một dự án đại học nên tôi không thực sự phải siêu chính xác).

Điểm là, nếu tôi vẽ các phần dư so với các giá trị dự đoán, có (theo giáo viên của tôi) một gợi ý về tính không đồng nhất.

Nhưng nếu tôi vẽ sơ đồ QQ của phần dư, thì rõ ràng chúng thường được phân phối. Hơn nữa, thử nghiệm Shapiro trên phần dư có giá trị là , vì vậy tôi nghĩ không có nghi ngờ gì về phần dư thực sự được phân phối bình thường.$p$$0.8$

Câu hỏi: Làm thế nào có thể có sự không đồng nhất trên các giá trị dự đoán nếu phần dư được phân phối bình thường?

Một cách để tiếp cận câu hỏi này là xem xét ngược lại: làm thế nào chúng ta có thể bắt đầu với các phần dư được phân phối bình thường và sắp xếp chúng thành không đồng nhất? Từ quan điểm này, câu trả lời trở nên rõ ràng: liên kết các phần dư nhỏ hơn với các giá trị dự đoán nhỏ hơn.

Để minh họa, đây là một công trình rõ ràng.

Dữ liệu ở bên trái rõ ràng là không đồng nhất so với sự phù hợp tuyến tính (hiển thị màu đỏ). Điều này được dẫn về nhà bởi phần dư so với cốt truyện dự đoán ở bên phải. Nhưng - bằng cách xây dựng - tập hợp các phần dư không có thứ tự gần với phân phối bình thường, như biểu đồ của chúng ở giữa cho thấy. (Giá trị p trong thử nghiệm tính chuẩn của Shapiro-Wilk là 0,60, thu được bằng Rlệnh được shapiro.test(residuals(fit))ban hành sau khi chạy mã bên dưới.)

Dữ liệu thực cũng có thể trông như thế này. Đạo đức là tính không đồng nhất đặc trưng cho mối quan hệ giữa kích thước còn lại và dự đoán trong khi tính quy tắc không cho chúng ta biết gì về phần dư có liên quan đến bất cứ điều gì khác.

Đây là Rmã cho công trình này.

set.seed(17)
n <- 256
x <- (1:n)/n                       # The set of x values
e <- rnorm(n, sd=1)                # A set of *normally distributed* values
i <- order(runif(n, max=dnorm(e))) # Put the larger ones towards the end on average
y <- 1 + 5 * x + e[rev(i)]         # Generate some y values plus "error" `e`.
fit <- lm(y ~ x)                   # Regress `y` against `x`.
par(mfrow=c(1,3))                  # Set up the plots ...
plot(x,y, main="Data", cex=0.8)
abline(coef(fit), col="Red")
hist(residuals(fit), main="Residuals")
plot(predict(fit), residuals(fit), cex=0.8, main="Residuals vs. Predicted")

Trong hồi quy bình phương tối thiểu (WLS) có trọng số, đó là các yếu tố ngẫu nhiên của phần dư ước tính mà bạn có thể muốn thấy được phân phối bình thường, mặc dù điều đó thường không quan trọng lắm. Phần dư ước tính có thể được xác định, như được hiển thị trong trường hợp hồi quy đơn giản (một biến hồi quy và thông qua gốc), ở cuối trang 1 và nửa dưới của trang 2 và 7 trong https://www.researchgate.net/publication / 263036348_ProperIES_of_ Weighted_Least_Squares_Regression_for_Cutoff_Sampling_in_Est traiment_Surveys Dù sao, điều này có thể giúp hiển thị nơi mà sự bình thường có thể đi vào hình ảnh.