Làm cách nào để tính toán phương sai của công cụ ước tính OLS

Tôi biết rằng và đây là khoảng cách tôi có được khi tính toán phương sai:

\hat{β_{0}} = \bar{y} - \hat{β_{1}} \bar{x}

$\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$

\begin{aligned} V a r (\hat{β_{0}}) & = V a r (\bar{y} - \hat{β_{1}} \bar{x}) \\ = V a r ((- \bar{x}) \hat{β_{1}} + \bar{y}) \\ = V a r ((- \bar{x}) \hat{β_{1}}) + V a r (\bar{y}) \\ = (- \bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) + 0 \\ = (\bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) + 0 \\ = \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} Var(\hat{\beta_0}) &= Var(\bar{y} - \hat{\beta_1}\bar{x}) \\ &= Var((-\bar{x})\hat{\beta_1}+\bar{y}) \\ &= Var((-\bar{x})\hat{\beta_1})+Var(\bar{y}) \\ &= (-\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1}) + 0 \\ &= (\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1}) + 0 \\ &= \frac{\sigma^2 (\bar{x})^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \end{align*}$

nhưng đó là xa như tôi đã nhận được. Công thức cuối cùng tôi đang cố gắng tính toán là

\begin{aligned} V a r (\hat{β_{0}}) & = \frac{σ^{2} n^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} Var(\hat{\beta_0}) &= \frac{\sigma^2 n^{-1}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \end{align*}$

Tôi không chắc chắn làm thế nào để có được giả sử toán học của tôi đúng ở đó .

(\bar{x})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}

$(\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2$

Đây có phải là con đường đúng?

\begin{aligned} (\bar{x})^{2} & = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2} \\ = \frac{1}{n^{2}} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (\bar{x})^2 &= \left(\frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2 \\ &= \frac{1}{n^2} \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2 \end{align}$

Tôi chắc chắn rằng nó đơn giản, vì vậy câu trả lời có thể chờ một chút nếu ai đó có gợi ý để đẩy tôi đi đúng hướng.

regression self-study

— MT
nguồn

Đây không phải là con đường đúng. Phương trình thứ 4 không giữ. Ví dụ: với , và , số hạng bên trái bằng 0, trong khi số hạng bên phải là . Vấn đề xuất phát từ bước bạn chia phương sai (dòng thứ 3 của phương trình thứ hai). Xem tại sao?

x_{1} = - 1

$x_1=−1$

x_{2} = 0

$x_2=0$

x_{3} = 1

$x_3=1$

2 / 3

$2/3$

— QuantIbex

Gợi ý về điểm Quantlbex: phương sai không phải là hàm tuyến tính. Nó vi phạm cả nghiện và nhân vô hướng.

— David Marx

@DavidMarx Bước đó phải là , tôi nghĩ, và sau đó khi tôi thay thế cho và (không biết phải làm gì cho việc này nhưng tôi sẽ nghĩ về nó nhiều hơn), điều đó sẽ đưa tôi vào con đường đúng tôi hy vọng.

= V a r ((- \bar{x}) \hat{β_{1}} + \bar{y}) = (\bar{x})^{2} V a r (\hat{β_{1}}) + \bar{y}

$=Var((-\bar{x})\hat{\beta_1}+\bar{y})=(\bar{x})^2Var(\hat{\beta_1})+\bar{y}$

\hat{β_{1}}

$\hat{\beta_1}$

\bar{y}

$\bar{y}$

— MT

Điều này LAF không đúng. Hãy nghĩ về điều kiện cần thiết cho phương sai của một tổng bằng với tổng phương sai.

— QuantIbex

Không, là ngẫu nhiên vì , trong đó biểu thị tiếng ồn (ngẫu nhiên). Nhưng OK, nhận xét trước đây của tôi có thể sai lệch. Ngoài ra, , nếu và biểu thị các hằng số.

\bar{y}

$\bar{y}$

y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ϵ

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

${\rm Var}(aX + b)= a^2{\rm Var}(X)$

a

$a$

b

$b$

— QuantIbex

Câu trả lời:

Đây là một câu hỏi tự nghiên cứu, vì vậy tôi cung cấp các gợi ý hy vọng sẽ giúp tìm ra giải pháp và tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời dựa trên phản hồi / tiến trình của bạn.

Tham số ước tính tối thiểu hóa tổng bình phương là Để lấy phương sai của , hãy bắt đầu từ biểu thức của nó và thay thế biểu thức của và thực hiện đại số

\begin{aligned} {\hat{β}}_{0} & = \bar{y} - {\hat{β}}_{1} \bar{x}, \\ {\hat{β}}_{1} & = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta}_0 &= \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} , \\ \hat{\beta}_1 &= \frac{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})y_i }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } . \end{align}$

{\hat{β}}_{0}

$\hat{\beta}_0$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

V a r ({\hat{β}}_{0}) = V a r (\bar{Y} - {\hat{β}}_{1} \bar{x}) = \dots

${\rm Var}(\hat{\beta}_0) = {\rm Var} (\bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) = \ldots$

Chỉnh sửa:
Chúng tôi có Hai thuật ngữ phương sai là và và thuật ngữ hiệp phương sai là

\begin{aligned} V a r ({\hat{β}}_{0}) & = V a r (\bar{Y} - {\hat{β}}_{1} \bar{x}) \\ = V a r (\bar{Y}) + (\bar{x})^{2} V a r ({\hat{β}}_{1}) - 2 \bar{x} C o v (\bar{Y}, {\hat{β}}_{1}) . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Var}(\hat{\beta}_0) &= {\rm Var} (\bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) \\ &= {\rm Var} (\bar{Y}) + (\bar{x})^2 {\rm Var} (\hat{\beta}_1) - 2 \bar{x} {\rm Cov} (\bar{Y}, \hat{\beta}_1). \end{align}$

V a r (\bar{Y}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (Y_{i}) = \frac{σ^{2}}{n},

${\rm Var} (\bar{Y}) = {\rm Var} \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n Y_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^n {\rm Var} (Y_i) = \frac{\sigma^2}{n},$

\begin{aligned} V một r ({\hat{β}}_{1}) & = = \frac{1}{{[Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}]}^{2}} Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2} V một r (Y_{Tôi}) \\ = = \frac{σ^{2}}{Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Var} (\hat{\beta}_1) &= \frac{ 1 }{ \left[\sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 \right]^2 } \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 {\rm Var} (Y_i) \\ &= \frac{ \sigma^2 }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } , \end{align}$

\begin{aligned} C o v (\bar{Y}, {\hat{β}}_{1}) & = = C o v {\frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} Y_{Tôi}, \frac{Σ_{j = = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Y_{j}}{Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}}} \\ = = \frac{1}{n} \frac{1}{Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} C o v {Σ_{Tôi = = 1}^{n} Y_{Tôi}, Σ_{j = = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Y_{j}} \\ = = \frac{1}{n Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Σ_{j = = 1}^{n} C o v (Y_{Tôi}, Y_{j}) \\ = = \frac{1}{n Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) σ^{2} \\ = = 0 \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Cov} (\bar{Y}, \hat{\beta}_1) &= {\rm Cov} \left\{ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n Y_i, \frac{ \sum_{j = 1}^n(x_j - \bar{x})Y_j }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \right \} \\ &= \frac{1}{n} \frac{ 1 }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } {\rm Cov} \left\{ \sum_{i = 1}^n Y_i, \sum_{j = 1}^n(x_j - \bar{x})Y_j \right\} \\ &= \frac{ 1 }{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \sum_{i = 1}^n (x_j - \bar{x}) \sum_{j = 1}^n {\rm Cov}(Y_i, Y_j) \\ &= \frac{ 1 }{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \sum_{i = 1}^n (x_j - \bar{x}) \sigma^2 \\ &= 0 \end{align}$ kể từ . Và kể từ khi

\sum_{i = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) = 0

$\sum_{i = 1}^n (x_j - \bar{x})=0$

Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2} = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} x_{Tôi}^{2} - 2 \bar{x} Σ_{Tôi = = 1}^{n} x_{Tôi} + Σ_{Tôi = = 1}^{n} {\bar{x}}^{2} = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} x_{Tôi}^{2} - n {\bar{x}}^{2},

$\sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i = 1}^n x_i^2 - 2 \bar{x} \sum_{i = 1}^n x_i + \sum_{i = 1}^n \bar{x}^2 = \sum_{i = 1}^n x_i^2 - n \bar{x}^2,$ chúng tôi có

\begin{aligned} V một r ({\hat{β}}_{0}) & = = \frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} {\bar{x}}^{2}}{Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} \\ = = \frac{σ^{2}}{n Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} {Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2} + n {\bar{x}}^{2}} \\ = = \frac{σ^{2} Σ_{Tôi = = 1}^{n} x_{Tôi}^{2}}{n Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm Var}(\hat{\beta}_0) &= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{ \sigma^2 \bar{x}^2}{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \\ &= \frac{\sigma^2 }{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } \left\{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 + n \bar{x}^2 \right\} \\ &= \frac{\sigma^2 \sum_{i = 1}^n x_i^2}{ n \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 }. \end{align}$

Chỉnh sửa 2

Tại sao chúng ta có ? ${\rm var} ( \sum_{i = 1}^n Y_i) = \sum_{i = 1}^n {\rm Var} (Y_i)$

Mô hình giả định là , trong đó là độc lập và phân phối ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên với và . $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ $\epsilon_i$ ${\rm E}(\epsilon_i) = 0$ ${\rm var}(\epsilon_i) = \sigma^2$

Khi chúng tôi có một mẫu, được biết đến, các thuật ngữ ngẫu nhiên duy nhất là . Nhắc lại rằng với một biến ngẫu nhiên và hằng số , chúng ta có . Do đó, Bình đẳng thứ 4 giữ là $X_i$ $\epsilon_i$ $Z$ $a$ ${\rm var}(a+Z) = {\rm var}(Z)$

\begin{aligned} v một r (Σ_{Tôi = = 1}^{n} Y_{Tôi}) & = = v một r (Σ_{Tôi = = 1}^{n} β_{0} + β_{1} X_{Tôi} + ε_{Tôi}) \\ = = v một r (Σ_{Tôi = = 1}^{n} ε_{Tôi}) = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} Σ_{j = = 1}^{n} c o v (ε_{Tôi}, ε_{j}) \\ = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} c o v (ε_{Tôi}, ε_{Tôi}) = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} v một r (ε_{Tôi}) \\ = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} v một r (β_{0} + β_{1} X_{Tôi} + ε_{Tôi}) = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} v một r (Y_{Tôi}) . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm var} \left( \sum_{i = 1}^n Y_i \right) &= {\rm var} \left( \sum_{i = 1}^n \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i \right)\\ &= {\rm var} \left( \sum_{i = 1}^n \epsilon_i \right) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n {\rm cov} (\epsilon_i, \epsilon_j)\\ &= \sum_{i = 1}^n {\rm cov} (\epsilon_i, \epsilon_i) = \sum_{i = 1}^n {\rm var} (\epsilon_i)\\ &= \sum_{i = 1}^n {\rm var} (\beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i) = \sum_{i = 1}^n {\rm var} (Y_i).\\ \end{align}$

c o v (ϵ_{i}, ϵ_{j}) = 0

${\rm cov} (\epsilon_i, \epsilon_j) = 0$ đối với bởi tính độc lập của .

i \neq j

$i \neq j$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— QuantIbex
nguồn

Tôi nghĩ rằng tôi đã nhận nó! Cuốn sách có các bước gợi ý, và tôi đã có thể chứng minh từng bước riêng biệt (tôi nghĩ). Nó không thỏa mãn như chỉ ngồi xuống và nghiền nát nó từ bước này, vì tôi phải chứng minh kết luận trung gian cho nó để giúp đỡ, nhưng tôi nghĩ mọi thứ có vẻ tốt.

— MT

Xem chỉnh sửa cho sự phát triển của phương pháp đề xuất.

— QuantIbex

Phương sai của tổng bằng tổng của phương sai trong bước này: vì độc lập, điều này ngụ ý rằng độc lập như tốt, phải không

V một r (\bar{Y}) = = V một r (\frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} Y_{Tôi}) = = \frac{1}{n^{2}} Σ_{Tôi = = 1}^{n} V một r (Y_{Tôi})

${\rm Var} (\bar{Y}) = {\rm Var} \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n Y_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^n {\rm Var} (Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

— MT

Ngoài ra, bạn có thể tính ra một hằng số từ hiệp phương sai trong bước này: mặc dù nó không có trong cả hai yếu tố bởi vì công thức cho hiệp phương sai là nhân, phải không?

\frac{1}{n} \frac{1}{Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2}} C o v {Σ_{Tôi = = 1}^{n} Y_{Tôi}, Σ_{j = = 1}^{n} (x_{j} - \bar{x}) Y_{j}}

$\frac{1}{n} \frac{ 1 }{ \sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^2 } {\rm Cov} \left\{ \sum_{i = 1}^n Y_i, \sum_{j = 1}^n(x_j - \bar{x})Y_j \right\}$

— MT

@oort, trong tử số bạn có tổng thuật ngữ giống hệt nhau (và bằng ), vì vậy tử số là .

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

n σ^{2}

$n \sigma^2$

— QuantIbex

Tôi hiểu rồi! Vâng, với sự giúp đỡ. Tôi đã tìm thấy một phần của cuốn sách đưa ra các bước để thực hiện khi chứng minh công thức (may mắn là nó không thực sự giải quyết được chúng, nếu không tôi không muốn thực sự làm bằng chứng). Tôi đã chứng minh từng bước riêng biệt, và tôi nghĩ rằng nó đã làm việc. $Var \left( \hat{\beta}_0 \right)$

Tôi đang sử dụng ký hiệu của cuốn sách, đó là: và là thuật ngữ lỗi.

S S T_{x} = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x})^{2},

$SST_x = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2,$

u_{i}

$u_i$

1) Hiển thị rằng có thể được viết là trong đó và . $\hat{\beta}_1$ $\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i u_i$ $w_i = \frac{d_i}{SST_x}$ $d_i = x_i - \bar{x}$

Điều này thật dễ dàng bởi vì chúng tôi biết rằng

\begin{aligned} {\hat{β}}_{1} & = = β_{1} + \frac{Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x}) {bạn}_{Tôi}}{S S T_{x}} \\ = = β_{1} + Σ_{Tôi = = 1}^{n} \frac{d_{Tôi}}{S S T_{x}} {bạn}_{Tôi} \\ = = β_{1} + Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} {bạn}_{Tôi} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta}_1 &= \beta_1 + \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) u_i}{SST_x} \\ &= \beta_1 + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{d_i}{SST_x} u_i \\ &= \beta_1 + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i u_i \end{align}$

2) Sử dụng phần 1, cùng với để hiển thị rằng và không được chỉnh sửa, tức là hiển thị rằng . $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i = 0$ $\hat{\beta_1}$ $\bar{u}$ $E[(\hat{\beta_1}-\beta_1) \bar{u}] = 0$

\begin{aligned} E [(\hat{β_{1}} - β_{1}) \bar{bạn}] & = = E [\bar{bạn} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} {bạn}_{Tôi}] \\ = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} E [w_{Tôi} \bar{bạn} {bạn}_{Tôi}] \\ = = Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} E [\bar{bạn} {bạn}_{Tôi}] \\ = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} E ({bạn}_{Tôi} Σ_{j = = 1}^{n} {bạn}_{j}) \\ = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} [E ({bạn}_{Tôi} {bạn}_{1}) + \dots + E ({bạn}_{Tôi} {bạn}_{j}) + \dots + E ({bạn}_{Tôi} {bạn}_{n})] \end{aligned}

$\begin{align} E[(\hat{\beta_1}-\beta_1) \bar{u}] &= E[\bar{u}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i u_i] \\ &=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n E[w_i \bar{u} u_i] \\ &=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i E[\bar{u} u_i] \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i E\left(u_i\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n u_j\right) \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \left[E\left(u_i u_1\right) +\cdots + E(u_i u_j) + \cdots+ E\left(u_i u_n \right)\right] \\ \end{align}$

và bởi vì là iid, khi . $u$ $E(u_i u_j) = E(u_i) E(u_j)$ $j \neq i$

Khi , , vì vậy chúng ta có: $j = i$ $E(u_i u_j) = E(u_i^2)$

\begin{aligned} = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} [E ({bạn}_{Tôi}) E ({bạn}_{1}) + \dots + E ({bạn}_{Tôi}^{2}) + \dots + E ({bạn}_{Tôi}) E ({bạn}_{n})] \\ = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} E ({bạn}_{Tôi}^{2}) \\ = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} [V một r ({bạn}_{Tôi}) + E ({bạn}_{Tôi}) E ({bạn}_{Tôi})] \\ = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} σ^{2} \\ = = \frac{σ^{2}}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} w_{Tôi} \\ = = \frac{σ^{2}}{n \cdot S S T_{x}} Σ_{Tôi = = 1}^{n} (x_{Tôi} - \bar{x}) \\ = = \frac{σ^{2}}{n \cdot S S T_{x}} (0) & = = 0 \end{aligned}

$\begin{align} &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \left[E(u_i) E(u_1) +\cdots + E(u_i^2) + \cdots + E(u_i) E(u_n)\right] \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i E(u_i^2) \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \left[Var(u_i) + E(u_i) E(u_i)\right] \\ &= \frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \sigma^2 \\ &= \frac{\sigma^2}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n w_i \\ &= \frac{\sigma^2}{n \cdot SST_x}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) \\ &= \frac{\sigma^2}{n \cdot SST_x} \left(0\right) &= 0 \end{align}$

3) Hiển thị rằng có thể được viết là . Điều này dường như cũng khá dễ dàng: $\hat{\beta_0}$ $\hat{\beta_0} = \beta_0 + \bar{u} - \bar{x}(\hat{\beta_1} - \beta_1)$

\begin{aligned} \hat{β_{0}} & = = \bar{y} - \hat{β_{1}} \bar{x} \\ = = (β_{0} + β_{1} \bar{x} + \bar{bạn}) - \hat{β_{1}} \bar{x} \\ = = β_{0} + \bar{bạn} - \bar{x} (\hat{β_{1}} - β_{1}) . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta_0} &= \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x} \\ &= (\beta_0 + \beta_1 \bar{x} + \bar{u}) - \hat{\beta_1} \bar{x} \\ &= \beta_0 + \bar{u} - \bar{x}(\hat{\beta_1} - \beta_1). \end{align}$

4) Sử dụng phần 2 và 3 để hiển thị rằng : $Var(\hat{\beta_0}) = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x}) ^2} {SST_x}$

\begin{aligned} V một r (\hat{β_{0}}) & = = V một r (β_{0} + \bar{bạn} - \bar{x} (\hat{β_{1}} - β_{1})) \\ = = V một r (\bar{bạn}) + (- \bar{x})^{2} V một r (\hat{β_{1}} - β_{1}) \\ = = \frac{σ^{2}}{n} + (\bar{x})^{2} V một r (\hat{β_{1}}) \\ = = \frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} . \end{aligned}

$\begin{align} Var(\hat{\beta_0}) &= Var(\beta_0 + \bar{u} - \bar{x}(\hat{\beta_1} - \beta_1)) \\ &= Var(\bar{u}) + (-\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1} - \beta_1) \\ &= \frac{\sigma^2}{n} + (\bar{x})^2 Var(\hat{\beta_1}) \\ &= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x}) ^2} {SST_x}. \end{align}$

Tôi tin rằng tất cả đều hoạt động vì chúng tôi đã cung cấp rằng và không tương quan, nên hiệp phương sai giữa chúng bằng 0, do đó phương sai của tổng là tổng của phương sai. chỉ là một hằng số, do đó, nó sẽ bị loại bỏ, cũng như sau này trong các tính toán. $\bar{u}$ $\hat{\beta_1} - \beta_1$ $\beta_0$ $\beta_1$

5) Sử dụng đại số và thực tế là : $\frac{SST_x}{n} = \frac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$

\begin{aligned} V một r (\hat{β_{0}}) & = = \frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} \\ = = \frac{σ^{2} S S T_{x}}{S S T_{x} n} + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} \\ = = \frac{σ^{2}}{S S T_{x}} (\frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} x_{Tôi}^{2} - (\bar{x})^{2}) + \frac{σ^{2} (\bar{x})^{2}}{S S T_{x}} \\ = = \frac{σ^{2} n^{- 1} Σ_{Tôi = = 1}^{n} x_{Tôi}^{2}}{S S T_{x}} \end{aligned}

$\begin{align} Var(\hat{\beta_0}) &= \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x}) ^2} {SST_x} \\ &= \frac{\sigma^2 SST_x}{SST_x n} + \frac{\sigma^2 (\bar{x})^2}{SST_x} \\ &= \frac{\sigma^2}{SST_x} \left( \frac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2 \right) + \frac{\sigma^2 (\bar{x})^2}{SST_x} \\ &= \frac{\sigma^2 n^{-1} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{SST_x} \end{align}$

— MT
nguồn

Có thể có một lỗi đánh máy ở điểm 1; Tôi nghĩ nên đọc .

v a r (\hat{β})

${\rm var(\hat{\beta})}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— QuantIbex

Bạn có thể muốn làm rõ các ký hiệu và chỉ định và là gì.

u_{i}

$u_i$

{S S T}_{x}

${\rm SST}_x$

— QuantIbex

u_{i}

$u_i$ là thuật ngữ lỗi và là tổng bình phương cho (được xác định trong chỉnh sửa).

S S T_{x}

$SST_x$

x

$x$

— MT

Ở điểm 1, thuật ngữ bị thiếu trong hai dòng cuối cùng.

β_{1}

$\beta_1$

— QuantIbex

Ở điểm 2, bạn không thể đưa ra ngoài mong đợi, đó không phải là hằng số.

\bar{u}

$\bar{u}$

— QuantIbex